1. Soit $~(a+ib)~$ une racine carré de $~\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}~$.
    On doit avoir: \begin{cases} a^2+b^2=1\\a^2-b^2=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\2ab=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} \textbf{Remarque:} La troisième équation indique que $a$ et $b$ ont le même signe.

    Les deux premières équation donnent: \begin{cases} 2a^2=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\2b^2=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{cases} Ce qui implique: \begin{cases} a^2=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}\\b^2=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4} \\ \end{cases} Et donc: \begin{cases} a=\pm \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\\b=\pm \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \\ \end{cases} Donc les racines carrés de $\dfrac{1+i}{\sqrt 2}$ sont: $$z_1=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\qquad\text{et}\qquad z_2=-z_1$$ Or: $$\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}=e^{i\frac{\pi}{4}}$$ ce qui donne: $$\quad a+ib=\pm e^{i\frac{\pi}{8}}$$ En comparant on trouve: $$e^{i\frac{\pi}{8}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$$ Donc: $$\begin{cases} \cos\left( \frac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\\\\\sin\left( \frac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \end{cases}$$
  2. On a: $$~~e^{i\frac{\pi}{12}}=\dfrac{e^{i\frac{\pi}{3}}}{e^{i\frac{\pi}{4}}}=e^{i\frac{\pi}{3}}~e^{-i\frac{\pi}{4}}$$ Et donc: $$~~e^{i\frac{\pi}{12}}=\left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{1-i}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{(1+\sqrt{3})+i(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}}$$ Soit: $$~~e^{i\frac{\pi}{12}}=\dfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})+i(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$$ On en déduit:$$\begin{cases} \cos(\frac{\pi}{12})= \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\\\\sin(\frac{\pi}{12})=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \end{cases}$$