On a: \begin{align*} |u+v|^2&=(u+v)(\bar u +\bar v)\\ |u+v|^2&=u\bar{u}+u\bar{v}+v\bar{u} + v\bar v\\ |u+v|^2&=(|u|^2+|v|^2)+ (u\bar{v}+v\bar{u}) \qquad (1) \end{align*} \begin{align*} |u-v|^2&=(u-v)(\bar{u}-\bar{v})\\ |u-v|^2&=u\bar{u}-u\bar{v}-v\bar{u}+v\bar{v}\\ |u-v|^2&=(|u|^2+|v|^2)-(u\bar{v}+v\bar{u})\qquad (2) \end{align*} En additionnant membre à membre $~(1)~$ et $~(2)~$ on trouve: $$|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2 + |v|^2)$$ Cette égalité s'appelle l'identité du parallélogramme; et comme son nom l'indique elle traduit tout simplement que la somme des carrés des diagonales d'un parrallélogramme est ègale au double de la somme des carrés des cotés adjacents .