Posons: $$~~Z=\dfrac{1+z}{1-z}$$
- Condition suffisante:
Si $~~|z|=1~~$ alors:
\begin{align*} \overline{Z}&=\dfrac{1+\bar{z}}{1-\bar z}\\ \overline{Z}&=\dfrac{1+\dfrac{1}{z}}{1-\dfrac{1}{z}}\\ \overline Z&=\dfrac{1+z}{z-1} \end{align*} Soit: $$\overline Z=-Z$$ Donc $~Z~$ est purement imaginaire
- Condition nécessaire:
Si $Z$ est imaginaire pur alors: $$~~ \overline{Z}=- Z\Longrightarrow \dfrac{1+\bar z}{1-\bar z}=-\dfrac{1+z}{1-z} $$ Ce qui donne: $$(1+\bar{z})(z-1)=(1-\bar{z})(1+z))$$ En simplifiant on trouve: $$2z\bar z=2\Longrightarrow z\bar z=|z|^2=1$$ Soit: $$~~|z|=1$$ Ce qui achÚve la démonstration de l'équivalence.