Posons: $$Z=\dfrac{z+z'}{1+zz'}$$ On a: $$|z|=|z'|=1\Rightarrow z\bar z=z'\bar{z'}=1$$ Et donc: $$\bar z=\dfrac{1}{z}\qquad \bar{ z'}=\dfrac{1}{z'}$$ Par la suite: \begin{align*} \overline{ Z}&=\dfrac{\bar{z} +\bar{z'}}{1+\bar{z}\bar{z'}}\\ \overline{Z}&=\dfrac{\dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{z'} }{1+\dfrac{1}{z}\times\dfrac{1}{z'}}\\ \overline{Z}&=\dfrac{z+z'}{1+zz'} \end{align*} Soit: $$Z=\overline{Z}$$ Ce qui prouve que $~Z~$ est un nombre réel.