-
Division de $2^{50}$ par $7$:
On a: $$2^3=1\mod 7$$ D'autres parts: $$2^{50}=2^{3\times 16}\cdot 2^2$$ Et donc: $$2^{50}=\left(2^3\right)^{16}\cdot 4=1\cdot 4\mod 7$$ Finalement: $$2^{50}=4\mod 7$$ Division de $~~41^{65}~$ par $~7$:
On a: $$41=-1\mod 7$$ Et donc: $$41^{65}=(-1)^{65}=-1\mod 7$$ Par conséquent: $$41^{65}=6\mod 7$$ - Division de $S$ par $4$:
On a: \begin{align*} S&=\sum\limits_{k=0}^{99}{k^5}\\ S&=\sum\limits_{k=0}^{24}{\left(~(4k)^5+(4k+1)^5+(4k+2)^5+(4k+3)^5~\right)}\\ S&=\sum\limits_{k=0}^{99}{\left(0+1^5+2^5+3^5\right)}\mod 4\\ S&=\sum\limits_{k=0}^{99}{\left(0+1^5+0+(-1)^5\right)}\mod 4\\ \end{align*} Soit: $$S=0\mod 4$$