Soit à résoudre l'équation: $$670x+100=0\mod 2014\qquad(E)$$

Proposition: Soient: $~y\in\mathbb Z;~~\text{et}~~ (p_i):~i=1,2,\cdots,n $; des nombres premiers deux à deux distincts.
Alors; on a l'équivalence suivante: $$y=0\mod \left[\prod_{i=1}^n{p_i}\right]\Longleftrightarrow y=0\mod p_i:\quad i=1,2,\cdots n$$

Dans notre cas On a:
$~~2014=2\times 19\times 53$
$y=670x+100;\qquad;(p_1,p_2,p_3)=(2,19,53)$ Il suffit de résoudre le système des 3 équations suivantes: \begin{cases} 670x+100=0\mod 2\\\\ 670x+100=0\mod 19\\\\ 670x+100=0\mod 53 \end{cases} $y~~$ est pair; donc la première équation du système est vérifiée pour tout $x\in \mathbb Z$
On doit chercher tous les entiers $~~(0\leq x\leq 2013)~~$ tels que:
\begin{cases} 970x+100=0\mod 19\\\\970x+100=0\mod 53\\ \end{cases}

1. La première équation $$670x+100=0\mod 19$$ $10$ étant inversible modulo 19, l'équation devient: $$ 67x+10=0\mod 19$$ Et vu que $67=10\mod 19$, il vient: $$10x+10=0\mod 19$$ Et puisque $10$ est inversible modulo $19$: $$x=-1\mod 19$$
   Ou de manière équivalente:
   $$x=19k-1\qquad (1)$$
2. deuxième équation: $$670x+100=0\mod 53$$ Ce qui donne: \begin{align*} &67x+10& =~0\mod 53\\ &14x+10& =~0\mod 53\\ &7x+5& =~0\mod 53\\ &7x&=-5\mod 53 \\ &56x&=-40\mod 53\\ &3x&= 13\mod 53\\ &54x&=13\times 18\mod 53\\ &x&=22\mod 53 \end{align*} En substituant dans (1) dans (2) on obtient: $$19k-1=22\mod 53$$ En multipliant les 2 membres par 3
   $4k=16$
   $k=4\mod 53$
   Et donc: $~~k=53m+4$
   Donc:
   $x=19(53m+4)-1$
   Soit: $x=1007m+75$
   Les valeurs de $~m~$ pour lesquelles $~~0\leq x \leq 2013~~$ sont
   $m=0$;\quad et\quad $m=1$
   Conclusion:
   L'ensemble de solutions de l'équation $~~(E)$ est: $$S=\{75;~ 1082\}$$