Posons:
$$a_n=4^{2^n}+2^{2^n}+1$$
Montrons que $~a_n~$ est divisible par 7.
On a: $~~2^n=(-1)^n\mod 3$
Ce qui implique:
\begin{cases} 2^n&=1\mod 3\quad(\text{si $n$ est pair})\\\\2^{n}&=2\mod 3\quad(\text{si $n$ est impair})
\end{cases}
Et donc:
\begin{cases} 2^n&=3m+1\quad(\text{si $n$ est pair})\\\\2^{n}&=3m+2\quad(n~~ \text{impair}) \\
\end{cases}
De plus On a:
\begin{cases} 4^{3m}=64^m=1\mod 7\\\\2^{3m}=8^m=1\mod 7\\ \end{cases}
Par conséquent:
\begin{cases} a_n&=4^{3m+1}+2^{3m+1}+1 \mod 7\quad(\text{si $n$ est pair})\\\\a_n&=4^{3m+2}+2^{3m+2}+1 \mod 7 \quad(\text{si $n$ est impair}) \\
\end{cases}
Par la suite:
\begin{cases} a_n&=4+2+1&=0\mod 7\quad(n~~ \text{pair})\\\\a_n&=4^2+2^2+1&=0\mod 7 \quad(n~~ \text{impair}) \\
\end{cases}
Conclusion:
$a_n~~$ est divisible par 7: