1. On montre que pour tout $~n\in\mathbb N^*$ et $~a\in\mathbb R~$ avec: $a>0$ on a: $$(1+a)^n\geq 1+na$$ En effet: $$(1+a)^n=\sum\limits_{k=0}^n{C_n^k~a^k}\geq 1+C_n^1~a^1=1+na$$ Ce qui montre que: $$(1+a)^n\geq 1+na\qquad (1)$$ En posant: $~a=(b-1)>0~$: $$b^k=(1+(b-1))^k=(1+a)^k\geq 1+ka$$ Ce qui prouve que: $$b^k \geq 1+k(b-1)\qquad (2)$$
  2. Posons:
    $b_k=1+k(b-1)$ alors:
    Les suites: $~~(b_k)_{k\in\mathbb N^*} ~~\text{et}~~ (b^k)_{k\in\mathbb N*}~~$ ont les propriétés suivantes:
    • les deux suites sont strictement croissantes
    • $b^k\geq b_k\qquad \text{pour tout}:~~k\geq 1$
    • $\lim~{b_k}=+\infty$
    • On en déduit: $\lim~{b^k}=+\infty\qquad (3)$
    Ce qui implique:
    Soit $~n\in\mathbb N~$, d'après $~(3)~$, il existe $~~k\in\mathbb N^*~~$ tel que:
    $~~b^k>n~~$ (car sinon $~~b^k~~$ serait majorée par $~n~$ contradiction!)
    Pour $(n\in\mathbb N^*)$ fixé, posons: $$A_n=\{m\in\mathbb N:\quad b^m\leq n\}$$
    • $~A_n~$ est non vide ($~0~$ appartient à $~A_n~$)
    • On sait d'après la question précédente qu'il existe $~k~$ tel que: $~b^k>n~$ et donc $~k~$ est un majorant de $~A_n~$.
      En effet:
      $m\in A_n\Rightarrow b^m\leq n \lt b^k$
      Et Donc:
      $b^m \lt b^k\Rightarrow m \lt k \qquad$ (car la suite $(b^l)$ est strictement croissante)
    On en déduit de ce qui prècède que $A_n$ est ensemble fini (car majoré par k). Soit $s$ le plus grand élément de $A_n$ alors on a:
    $$b_0 $(b_{s+1}>b_s)~~$ et donc $~s+1~$ n'est pas dans $~A_n~$ car sinon il serait le plus grand élément de $~A_n~$ Et donc: $$~b_{s+1}>n~$$ Et finalement: $$b_s\leq n\lt b_{s+1}$$ L'unicité de s découle de l'unicité du plus grand élément de $~A_n~$