Soit $~~(x,y)\in\mathbb N^2~~$ et soit l'équation: $$2^x=3^y+1\qquad (E)$$
  1. On a:
    $$2^1=3^0+1\qquad \text{et} \qquad 2^2=3^1+1~~$$ Donc:
    $(1,0)\quad$ et $\quad (2,1)$ sont deux solutions de $~E~$

  2. On a pour $~~k\geq 1$: $$\begin{cases} 3^{2k}&=9^{k}=1\mod 8\\3^{2k+1}&=9^{k}\times 3=3\mod 8 \\ \end{cases}$$ D'autre part: $$y\geq 2\Longrightarrow~ x\geq 3\Longrightarrow 2^x=0\mod 8$$ En résumé:
    • Si $~~y\geq 2~~$ avec $~~y=2k~~$ on a:
      $2^x=0\mod 8~~$ et $~~3^{y}+1=2\mod 4~~$ (pas de solution dans ce cas!)
    • Si $~~y=2k+1\geq 2~~$ on a:
      $2^x=0\mod 8~~$ et $~~3^y+1=4\mod 8~~$ ( pas de solution dans ce deuxième cas! )

    Conclusion:

    $(1,0)~~$ et $~~(2,1)~~$ sont les seules solutions de l'équation $~~E~~$ dans $~~\mathbb N^2$.