Dans $\mathbb Z^2$ on considère l'équation $$(E):\quad x^2+y^2=y^3$$

1. Remarquons tout d'abord que: $~~(x,y)=(0,0)~~$ est une solution triviale de $~E~$.
   Soit maintenant ~$(x,y)$~ un couple solution, de l'équation $~E~$, avec: $~~xy\neq 0$
   Alors on a:
   $x^2+y^2=y^3\Longrightarrow x^2=y^2(y-1)$
   Ce qui implique que:
   $y^2~$ divise $~x^2$ et par la suite $~y~$ divise $~x$.
2. $y$ divise $x$ alors il existe d dans $\mathbb Z$ tels que $~~x=dy$ En susbstituant $~~x~~$ dans l'équation $~~E~~$ on obtient:
   $$y^2(d^2+1)=y^3$$ Et Donc: $$y=(1+d^2)\quad\text{et}\quad x=d(1+d^2) $$ L'ensemble de solution $~S~$~~est: $$S=\{~~(x,y)\in\mathbb Z^2;~~\text{tels que:}~~ x=d(1+d^2)~~ \text{et}~~ (y=1+d^2)~~\}$$

Autre solution:
En écrivant: $$x^2=y^2(y-1)$$ il en découle que $(y-1)$ est un carré parfait:
Posons: $$ y-1=m^2$$ Et donc:
$y=1+m^2\qquad $ et $\qquad x^2=(1+m^2)^2m^2$ On obtient: $$x=(1+m^2)m\qquad\mbox{et}\qquad y=1+m^2:\quad m\in\Bbb Z$$