- La première équation:
Il existe un couple d'entiers naturels (x,y) premiers entre eux tel que:
$$a=12x\qquad b=12y'$$ - La deuxième équation:
Il existe un couple (y",z) premiers entre eux tels que:
$$b=18y"\qquad c=18z$$ $$12y'=18y''\Longrightarrow 2y'=3y''$$ On voit donc qu'il existe $y$ dans $\Bbb N$ tel que: $$ y'=3y \qquad\mbox{et} \qquad y"=2y$$ Par conséquent: $$b=12y'=18y"=36y$$ Passons aintenant à l'équation: $$a+b+c=102$$ Sustituant les valeurs de $a,b,c$, on trouve: $$2x+6y+3z=17$$ Cas: $y=1$
On obtient: $$2x+3z=11$$ Il est clair que $z$ est impair et donc:
$$z=1,3$$ Ce qui corresponds respectivement à: $$x=4,1$$ Les solutions pour le cas y=1 sont: $$(x,y,z)=(4,1,1);(1,1,3)$$ Cas: $y=2$
On obtient dans ce cas: $$2x+3z=5\Longrightarrow (x,z)=(1,1)$$ La seule solution pour le cas y=2 est: $$(x,y,z)=(1,2,1)$$ Conclusion:
Les solutions du système d'équation est: $$\color{tomato}\boxed{~~(a,b,c)=(12,72,18);(12,36,54);(48,36,18)~~}$$
On cherche tous les entiers naturels $~~a,b,c~~$ tels que:
$$\begin{cases} a\land b=12 \\b\land c=18 \\a+b+c=102
\end{cases}$$