- Montrons que f est injective:
Soit $~(n,p)~$ et $~(m,l)~$ deux couples dans $\mathbb N^2~~ \text{tels que:}~~ f(n,p)=f(m,l)$.
On suppose sans perte de généralité que: $~~n\geq m$
Alors dans ce cas:
$f(n,p)=f(m,l)\Longrightarrow 2^{n}(2p+1)=2^m(2l+1)$
$\Longrightarrow 2^{n-m}(2p+1)=(2l+1)\quad (1)$ $\Longrightarrow n=m$.
Car Sinon le membre de gauche (1) serait pair tandis celui de droite serait impair.
Or: $n=m\Longleftrightarrow (2p+1)=(2l+1)\Longrightarrow p=l$.
$\Longrightarrow (n,p)=(m,l)$.
Ce qui prouve que $~f~$ est injective. - Surjection:
Soit $~m\in\mathbb N^*$.
On pose: $A=\{k\in\mathbb N~~\text{ tel que: }~~ 2^k|m\}$
- A est non vide car $~0\in A$
- A est majoré. Donc $~A~$ admet un plus grand élément $~n_0~$.
Alors on a: $~~m=2^{n_0}k$
Il est clair que k est impair car sinon:
$k=2k'\Longrightarrow m=2^{n_0+1}k'\Longrightarrow 2^{n_0+1}|m\Rightarrow (n_0+1)\in A$.
Contradiction car $~n_0~$ est le plus grand élément de $~A~$.
Si on pose: $~k=2l+1~$ alors il vient:
$$m=f(n_0~,~l)$$ Ce qui montre que $~f~$ est surjective, et donc bijective.