1. On a: $~319=11\times 29$

  2. Posons:$$\begin{cases} A=3x+5y\\B=x+2y\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} -A+3B=y\\ 2A-5B=x\end{cases}$$ $x\land y=1\Leftrightarrow \exists (a,b)\in \mathbb Z^2:~~$ tels que: $$~~ax+by=1$$ Soit en substituant: $$ a(-A+3B)+b(2A-5B)=1$$ Ce qui donne: $$ (2b-a)A+(3a-5b)B=1$$ Alors d'après Bezout: $~~A\land B=1~~$

  3. On cherche à résoudre:
    $$\begin{cases} (3a+5b)(a+2b)=1276\\\\ab=2(a\lor b) \end{cases}$$ On sait que : $ab=(a\land b)(a\lor b)$

    Or d'après la deuxième équation du système on a:
    $ab=2(a\lor b)~~$ ce qui implique que:$~~a\land b=2$
    Posons: $~~a=2a'\qquad b=2b'$
    On obtient:
    $$\begin{cases} 4(3a'+5b')(a'+2b')=1276\\\\a'\land b'=1 \end{cases}$$ Posons: $~~A'=3a'+5b'\qquad B'=(a'+2b')$ $$\Rightarrow \begin{cases}A'B'=319=11\times 29\\A'\land B'=1\end{cases}$$ car: $~(a'\land b'=1\Longrightarrow A'\land B')~$ (d'après la question 2)
    On montre facilement que si:
    $~a=0~$ ou $~b=0~$ le système n'admet pas de solution.
    Donc:

    $A'=3a'+5b'\geq 8$
    $B'=a'+2b'\geq 3$
    $A'-B'=2a'+3b'\geq 5$

    En résumé on a :

    $$\begin{cases}A'B'=319=11\times 29\\\\A'\geq 8\\\\B'\geq 3\\\\A'>B'\\\\A'\land B'=1\end{cases}$$ L'unique solution est: $$(A',B')=(29,11)$$ Or d'après la question 2 on a: $$\begin{cases} 2A'-5B'=a'=3\\-A'+3B'=b'=4 \end{cases}\Longrightarrow \begin{cases} a=2a'=6\\b=2b'=8 \\ \end{cases}$$ En conclusion: $${\color{blue}\boxed{~~(a,b)=(6,8)~~}}$$