1. Soient $~~~A=(3n+4)~$ et $~(B=9n-9)~$
    Et soit $~d~$ un diviseur commun positif de $~A~$ et $~B$
    Alors d divise aussi:
    $$~3A-B=3(3n+4)-(9n-9)=21$$ $\Longrightarrow~ d=1,3,7,21~~$
    Mais: $~~3\nmid A~~ (~\text{car:}~~A=1\mod 3~)$
    Et Donc: $~~d=1,7$
    Cherchons pour quelles valeurs de n on a: $~d=7~~(~A=B=0\mod 7)$

    $\begin{cases} 3n+4=0\mod 7\\9n-9=0\mod 7\\ \end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases} 3n=-4=3\mod 7\\9(n-1)=0\mod 7 \end{cases}$

    $\Longleftrightarrow n=1\mod 7$

    Et donc: $~d~$ est un diviseur commun de $~A~$ et $~B~$ si et seulement si; $~n=1\mod 7$

    On en déduit:

    • $\mbox{pgcd}(A,B) =7 \Longleftrightarrow n=1\mod 7$
    • $\mbox{pgcd}(A,B) = 1 \Longleftrightarrow n\neq 1\mod 7$

  2. Utilisons ce résultat pour résoudre le système suivant:
    $$\begin{cases} A\land B=7\\\\A\lor B=252\\ \end{cases}$$ Posons:
    $$A=7A';\qquad B=7B';\quad \text{et} \quad A'\land B'=1$$

    $\Longrightarrow~~ A\lor B=7A'B'~~$

    $\begin{cases} A'\land B'=1\\\\7A'B'=252 \end{cases}~~\Longrightarrow~~\begin{cases} A'B'=36=4\times 9\\\\A'\land B'=1\end{cases}$

    On rappelle que: $~~A\land 3=1\Rightarrow A'\land 3=1$

    On obtient les cas possibles suivants:

    $(A',B')=(1,36),(4,9)$

    Donc:

    $(A,B)=(7A',7B')=(7,252),(28,63)$
    On vérifie aisément que $~~(A,B)=(7,252)~~$ est impossible car:

    $$\begin{cases} 3n+4=7&\Longrightarrow n=1\\\\9n-9=252&\Longrightarrow n=29 \end{cases}~~$$ L'unique solution est:

    $(A,B)=(28,63)~$ qui correspond à $~~n=8$