- Raisonnement par l'absurde:
suppsons qu'il existe $~p~$ premier tel que:
$p|A~$ et $~p|B$
$p|ab\Rightarrow p|a\quad \mbox{ou}\quad p|b$
Sans perte de généralité on peut supposer que $~p|a$:
$\Rightarrow p|(a^2+ab)~$ car $~a^2+ab=a(a+b)$
Donc on a: $$\begin{cases} p~\mbox{divise}~(a^2+ab)\\\\p ~~\mbox{divise}~~ (a^2+ab+b^2) \end{cases}$$ $\Rightarrow~~ p~~\mbox{divise}~[~(a^2+ab+b^2)-(a^2+ab)~]$
$\Rightarrow p|b^2\Rightarrow p|b~~\mbox{ p est premier}$
En résumé nous avons un nombre premier $p$ tel que: $$\begin{cases} p|a\\ p|b\\a\land b=1 \end{cases}~$$ contradiction!
Donc: $~A~$ et $~B~$ n'ont aucun diviseur commun premier . - Comme $~A~$ et $~B~$ n'admettent aucun diviseur commun premier, alors, ils n'admettent aucun diviseur commun et par conséquent ils sont premiers entre eux.