1. On a: $~~z_1=\dfrac{3+6i}{3-4i}$
    Alors: $~~z_1=\dfrac{(3+6i)(3+4i)}{3^2+4^2}=\dfrac{(9-24)+(12+18)i}{25}=\dfrac{-15+30i}{25}$
    Soit: $z_1=-\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{5}i$


  2. On a: $~~(1+i)^2=2i\Longrightarrow (1+i)^4=-4$
    Or: $~~2023=505\times 4 +3$
    Ce qui implique:
    $(1+i)^{2023}=\left[(1+i)^{(4\times 504)}\right](1+i)^3=(-4)^{505}\times (1+i)^3$
    Et donc: $~~z_2=-4^{505}2i(1+i)$
    Soit: $~~z_2=2^{1011}-2^{1011}i$

  3. De la mĂȘme maniĂšre on a:
    $(1-i)^2=-2i\Longrightarrow (1-i)^4=-4$
    Par la suite:
    $(1-i)^{2024}=(1-i)^{4\times 506}=(-4)^{506}$
    Soit: $~~z_3=4^{506}$

  4. On a: $~~z_4=\sum\limits_{k=0}^{2023}{i^k}$

    $(1-i)z_4=(1-i^{2024})=(1-1)=0$

    Or: $(1-i)\neq 0~~$

    Par conséquent: $~~z_4=0$