$$2(a\land b)+7(a\lor b)=57$$ Posons: $$~~(a\land b)= d~\Longrightarrow\begin{cases} a=da'\\\\b=db'\\\\a\lor b=da'b' \end{cases}$$ Avec ses notations notre équation devient: $$2da'b'+7d=57$$ Soit: $$d(7+2a'b')=3\times 19\qquad (2)$$ On sait que: $$d\leq a\leq b$$ En outre on a: $$7+2a'b'\geq 9$$ Ce qui implique: $$d\leq \left\lfloor \dfrac{57}{9}\right\rfloor = 6$$ $$\begin {cases} d\leq 6\\\\et\\\\d|57\end{cases}$$ donc il y a deux cas:
- Cas: $~~d=1$
Dans ce cas on a: $$ 2a'b'+7=57$$ Ce qui implique: $$a'b'=25=5^2$$ Et donc: $$a'=1 ~~\mbox{et}~~ b'=25$$ Par la suite: $$(a,b)=(1,25)$$ - Cas: $~~d=3$
Dans ce cas on a: $$2a'b'+7=19$$ Ce qui donne: $$ a'b'=6$$ Par la suite: $$(a',b')=(1,6),(2,3)$$ Ce qui implique: $$ (a,b)=(3,18),(6,9)$$
L'ensemble des couples $~(a,b)~$ solutions de l'équation $~(1)~$ est: $$ S=\{~(1,25);(3,18);(6,9)~\} $$