- On considère la fonction $~f~~$ définie sur $~~E=\mathbb Z/33\mathbb Z $ par:
$$f(x)=17x+9$$
- Résolution de l'équation: $~~f(x)=0$:
$f(x)=0\Longleftrightarrow 17x+9=0\Longleftrightarrow 17x=-9=\mod 33$
En multipliant par 2 les deux membres de l'équation précédente il vient:
$34x=-18$
Et par la suite: $$\boxed{x=15\mod 33}$$ - Montrons que $~f~$ est bijective:
Il suffit de montrer que $~f~$ est injective; car $~f~$ est une application dans un ensemble fini (ie. $~E~$)
En effet:
Soit $~~(x,z)~~$ dans $~~E^2: \qquad f(x)=f(z)$
$\Longrightarrow 17x+9=17z+9\Longrightarrow 17(x-z)=0$
Et comme $17$ est inversible dans $~E~$ alors $~~x-z=0$
Et donc $~x=z~$ et $~f~$ est injective.
Par conséquent $~f~$ est bijective et admet une bijection réciproque $~f^{-1}~$ définie comme suit:
$~f(x)=y\Longleftrightarrow y=f^{-1}(x)$:
$f(x)=y\Longleftrightarrow 17x+9=y\Longleftrightarrow 17x=(y-9)$
En multipliant par 2 on trouve:
$$x=f^{-1}(y)=2(y-9)$$ En conséquence: $$\boxed{f^{-1}(x)=2(x-9)}$$
- Résolution de l'équation: $~~f(x)=0$:
- Soit $~g~$ la fonction définie sur $~E~$ par:
$$g(x)=22x+7$$
- Calcul de $~g(E)~$
Considérons la relation $~\mathcal R_g~$ définie sur $~E~$ comme suit: $$x~\mathcal R_g ~z\Longleftrightarrow g(x)=g(z)$$ On montre que $~g~$ est une relation d'équivalence.
si $~g(x)=g(z)~$ on dira que: $~x=z \mod g~~$ au lieu de $~~x~\mathcal R_g~z$
Or:
$x=z \mod g\Longleftrightarrow 22x+7=22z+7$
$\Longleftrightarrow 22(x-z)=0\Longleftrightarrow x-z=0\mod 3$
$\Longleftrightarrow x=z \mod 3$
Et donc:
$$(x=y\mod g\Longleftrightarrow x=y\mod 3) $$ Et donc il y a 3 classe modulo g a savoir: $$\bar 0, \bar 1~~ \mbox{et}~~\bar 2$$ En conséquence: $$g(E)=\left\lbrace g(0),g(1),g(2)\right\rbrace=\left\lbrace 7,18,29\right\rbrace$$
- Calcul de $~g(E)~$