1. Considérons l'équation modulaire suivante: $$x^2=33\mod 17$$ On a: $~~33=-1=16=4^\mod17$
   L'équation précédente s'écrit:
   $x^2-4^2=(x-4)(x+4)=0\mod 17$
   $\Rightarrow x=4\mod 17 ~~\mbox{ ou }~~ x=-4\mod 17~~$ (Car 17 est un nombre premier).
   
2. Passons à la résolution de l'équation: $$x^2=33\mod 289$$ On va distinguer les deux cas:
   
   1. cas: $~~x=4\mod 17~~$
      
      \begin{align*} x&=(17k+4)\\ (17k+4)^2&=(17k)^2+2\times 4\times 17k+16\\ (17k+4)^2&=8\times 17k+16=33\qquad (\mbox{car:}(17k)^2=0\mod 289)\\ 8\times 17k&=17\mod 289\\ 17(8k-1)&=0\mod 289\\ \end{align*} Donc:
      $(8k-1)$ est un multiple de $17$
      $\Rightarrow 8k-1=0\mod 17\Rightarrow 8k=1=-16\mod 17$
      $\Rightarrow k=-2=15\mod 17 $
      $k=17m+15\Rightarrow x=17k+4=17(17m+15)+4=189+259$ Nous avons donc la solution: $$\boxed{x=259\mod 289}$$
   2. Cas $x=-4\mod 17$
      On procède comme au premier cas:
      $(x=17k-4)\Rightarrow x^2=-8\times 17k+16=33\mod 289$
      $\Rightarrow 17(8k+1)=0\mod 289$
      $\Rightarrow 8k+1=0\mod 17$
      $k=2\mod 17\Rightarrow k=17n+2$
      $x=17k-4=17(17n+2)-4=289n+30$
      On a donc une deuxième solution: $$\boxed{x=30\mod 289}$$
En résumé l'ensemble des solution de l'équation $~~\mathcal E$ est: $$S=\{~\overline{30},\overline{259}~\}~~\text{dans}~~ \mathbb Z/289~\mathbb Z$$

modulus = 289
target = 33
solutions = []

# Brute-forcing all possible values of x from 0 up to 288
for x in range(modulus):
    if (x * x) % modulus == target:
        solutions.append(x)
        
# The solutions found are: [30, 259]