- Considérons l'équation:
$$\boxed{x^2=3\mod 13}\quad (1)$$
On a: $~~4^2=16=3\mod 13$
donc $~x=4~$ est une solution de $~(1)$.
L'équation (1) s'écrit:
$x^2-3=x^2-4^2=(x-4)(x+4)=0$
$\Rightarrow (x-4)=0 ~~\text{ou}~~ (x+4)=0\quad(\mbox{car}~~ \mathbb Z/13\mathbb Z~~$ est un corps ).
l'ensemble des solutions est: $$S_1=\{\bar 4, \bar 9\}\mod 13$$ - Considérons l'équation:
$$\boxed{x^2-9x+1=0\mod 13}\qquad (2)$$
On a: $-9=4\mod 13$
l'équation (2) s'écrit donc:
$x^2+4x+1=0\mod 13\Rightarrow (x+2)^2=3\mod 13$
D'après la première question on déduit:
$x+2=4\mod 13~$ ou $~x+2=9\mod 13$
L'ensemble de solution de l'équation (2) est donc:
$~~S_2=\{\bar 2,\bar 7\} \mod 13$