1. .
    1. On cherche à résoudre: $$~~7x=1\mod 17$$ En multiplions les deux membres par 5: $$~~35x=5\mod 17$$ Et donc: $$\boxed{x=5\mod 17}\quad (1)$$
    2. considérons maintenant l'équation modulaire: $$7x=1\mod 23$$ En multipliant par 3: $$21x=3\mod 23$$ qu'on peut écrire: $$-2x=-20\mod 23$$ et puisque (-2) est inversible dans $\mathbb Z/23\mathbb Z$ car ce dernier est un corps: $$\boxed{x=10\mod 23}\quad (2)$$
  2. Passons à la résolution du système suivant:
    Cherchons $~~1\leq x \leq 390$ $$(S)~\begin{cases} 7x=1\mod 17\\7x=1\mod 23 \end{cases}$$ On a: $17\times 23=391$ alors il suffit de trouver $~~x\in \mathbb Z/391\mathbb Z~~$ tel que:$$7x=1\mod 391$$ Or on sait déjà (voir (2) ci dessus) que: $x=10\mod 23$
    autrement dit: $x=10+23k$
    Il suffit de chercher k tel que x vérifie l'équation (1) ci-dessus.
    Autrement dit:
    $(10+23k)=5\mod 17$
    $\Rightarrow 6k=-5=12\mod 17\quad (\mbox{car:}~23=6\mod 17\quad)$
    $\Rightarrow k=2\mod 17$
    On prend:
    $x=10+23k=10+46=56$
    $$\boxed{x=56}$$ Récapitulons:
    • $~x~$ vérifie les équations $(1)$ et $~(2)~$ ( donc $~x~$ est solution du système d'équation modulaire $~(S)~$ )
    • Donc $(7x-1)~$ est à la fois divisible par $~23~$ et $~17$
    • Et puisque $~17~$ et $~23~$ sont deux nombres premiers alors:$(7x-1)~$ est divisible par: $~23\times 17=391~$

    Conclusion:
    $x=56~$ vérifie l'équation modulaire: $$\boxed{7x=1\mod 391}~$$