On va adopter un raisonnement par l'absurde:
supposons que: $~~\sqrt{\frac{7}{2}}\in \mathbb Q~~$:

Alors il existe un couple, $~~(p,q)\in\mathbb Z\times \mathbb Z^* ~~\mbox{ avec }~~ p\land q=1~~ $ et tel que: $$\sqrt{\dfrac{7}{2}}=\dfrac{p}{q}$$ On a donc l'équation suivante: $$~~7q^2=2p^2\qquad (1)$$ égalité (1) implique: $7|p^2$
Et puisque 7 est un nombre premier, alors: $~~7|p$
Et donc: $p=7p'$
L'égalité (1) ci dessus s'écrit alors: $~~7q^2=2(7p')^2$
On obtient: $$q^2=2\times 7\times p'^2\qquad (2)$$ L'égalité (2) implique: $~~7|q^2~~$ et donc $~~7|q~~$ (car 7 est premier.)
Alors on a:
7 divise à la fois $~~p~~$ et $~~q~~$; ce qui contredit l'hypothèse de départ $~~(~p\land q=1~)$
En conséquence:
$$\sqrt{\frac{7}{2}}\notin \mathbb Q$$