- Montrons la relation: $~~C_n^k=C_{n}^{n-k}$
En effet: $$C_{n}^{n-k}=\dfrac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!}=\dfrac{n!}{(n-k)!k!}$$ Ce qui implique: $$C_n^k=C_{n}^{n-k}$$ - Prouvons la relation: $$C_{2n}^n=\sum\limits_{k=0}^n{(C_n^k)^2}$$
On va utiliser la relation évidente suivante:
$$(1+x)^{2n}=(1+x)^n\times (1+x)^n$$
Nous avons ci dessus une fonction polynômiale écrite de deux manières différentes.
On sait que deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des différents monômes sont deux à deux égaux.
Dans cet question on s'intéresse au monôme de degré $n$.
le coefficient de ce monôme calculé à partir du terme de gauche est: $~C_{2n}^n$.
Le monôme de degré $n$ obtenu à partir du terme de droite s'obtient en sommant les termes suivants: $$C_n^kx^k\times C_{n}^{n-k}x^{{n-k}}=C_n^k\times C_{n}^{n-k}{x^{n}}=(C_n^k)^2{x^{n}}$$ En comparant il vient: $$\boxed{C_{2n}^n=\sum\limits_{k=0}^n{\left(C_n^k\right)^2}}$$