Étude des séries de Bertrand

1. Séries de Bertrand

   1. Posons $ u_n = \frac{(\ln(n))^\alpha}{n^\beta} $. Choisissons un réel $ \gamma $ tel que $ 1 < \gamma < \beta $.
      On a : \[ \lim_{n \to +\infty} n^\gamma u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{(\ln(n))^\alpha}{n^{\beta - \gamma}} = 0 \] par le théorème des croissances comparées car $ \beta - \gamma > 0 $.
      Il existe donc un rang à partir duquel $ 0 \le u_n \le \frac{1}{n^\gamma} $.
      Puisque $ \gamma > 1 $, la série de Riemann $ \sum \frac{1}{n^\gamma} $ converge. Par le critère de comparaison des séries à termes positifs, la série $ \sum u_n $ converge.
   
   
   2. Posons $ v_n = \frac{1}{n^\beta(\ln(n))^\alpha} $. Choisissons un réel $ \gamma $ tel que $ \beta < \gamma < 1 $.
      On a : \[ \lim_{n \to +\infty} n^\gamma v_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^{\gamma - \beta}}{(\ln(n))^\alpha} = +\infty \] par le théorème des croissances comparées car $ \gamma - \beta > 0 $.
      Il existe donc un rang à partir duquel $ v_n \ge \frac{1}{n^\gamma} \ge 0 $.
      Puisque $ \gamma < 1 $, la série de Riemann $ \sum \frac{1}{n^\gamma} $ diverge. Par le critère de comparaison, la série $ \sum v_n $ diverge.
   
   
   3. Posons $ w_n = \frac{1}{n(\ln(n))^\alpha} $. On considère la fonction : \[ \begin{align*} f : &[2, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{1}{x(\ln(x))^\alpha}\\ \end{align*} \] Cette fonction est positive, continue et décroissante sur $ [2, +\infty[ $. Par le théorème de comparaison série-intégrale, la série $ \sum w_n $ et l'intégrale $ \int_2^{+\infty} f(x)\,dx $ sont de même nature.
      Soit $ X > 2 $. En effectuant le changement de variable $ t = \ln(x) $ ($ dt = \frac{dx}{x} $) : \[ \int_2^X \frac{1}{x(\ln(x))^\alpha}\,dx = \int_{\ln(2)}^{\ln(X)} \frac{1}{t^\alpha}\,dt \]
      Si $ \alpha = 1 $ : \[ \int_{\ln(2)}^{\ln(X)} \frac{1}{t}\,dt = \ln(\ln(X)) - \ln(\ln(2)) \xrightarrow[X \to +\infty]{} +\infty \] L'intégrale diverge.
      Si $ \alpha \neq 1 $ : \[ \int_{\ln(2)}^{\ln(X)} t^{-\alpha}\,dt = \left[ \frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right]_{\ln(2)}^{\ln(X)} = \frac{(\ln(X))^{1-\alpha} - (\ln(2))^{1-\alpha}}{1-\alpha} \] Cette limite est finie si et seulement si $ 1 - \alpha < 0 $, soit $ \alpha > 1 $.
      Conclusion : La série $ \sum \frac{1}{n(\ln(n))^\alpha} $ converge si et seulement si $ \alpha > 1 $.