Exercice SSN 36

Exercice Publié par admin le 30 avril 2026
Bac Sciences MathĂ©matiques & LycĂ©e Suites et sĂ©ries numĂ©riques ÉnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©

Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.

ÉnoncĂ© de l'exercice :

Soient $~~(a_n)$, $~~(b_n)~~$ et $~~(c_n)~~$ trois suites réelles telles que: \[ \forall n \in \mathbb{N}, a_n \le b_n \le c_n \] On suppose que les séries $ ~~\sum_{n \ge 0} a_n~~ $ et $ ~~\sum_{n \ge 0} c_n ~~$ convergent.

  1. Montrer que la série $~~ \sum_{n \ge 0} b_n ~~$ converge.

Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
  1. DĂ©monstration de la convergence de $ \sum b_n $ :
    • On part de l'encadrement initial valable pour tout $ n \in \mathbb{N} $ : \[ a_n \le b_n \le c_n \]
    • Pour se ramener Ă  des termes positifs, on soustrait $ a_n $ Ă  chaque membre de l'inĂ©galitĂ© : \[ 0 \le b_n - a_n \le c_n - a_n \]
    • Par hypothĂšse, les sĂ©ries $ \sum a_n $ et $ \sum c_n $ sont convergentes. L'espace des sĂ©ries convergentes Ă©tant un espace vectoriel, toute combinaison linĂ©aire de sĂ©ries convergentes est convergente.
      On en déduit que la série $ \sum (c_n - a_n) $ converge.
    • On se retrouve avec l'inĂ©galitĂ© $ 0 \le b_n - a_n \le c_n - a_n $.
      Comme il s'agit de séries à termes positifs, le théorÚme de comparaison s'applique de maniÚre stricte : la série majorée $ \sum (b_n - a_n) $ converge.
    • Enfin, on peut dĂ©composer le terme gĂ©nĂ©ral $ b_n $ de la façon suivante : \[ b_n = (b_n - a_n) + a_n \]
    • La sĂ©rie $ \sum b_n $ s'Ă©crit donc comme la somme de deux sĂ©ries convergentes ($ \sum (b_n - a_n) $ et $ \sum a_n $). Par linĂ©aritĂ©, la sĂ©rie $ \sum b_n $ converge.
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