Étude de la série logarithmique

1. Convergence de la série :
   • On pose $ u_n = \ln\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) $.
   • Au voisinage de $ +\infty $, on a l'équivalent : \[ u_n \sim -\frac{1}{n^2} \]
   • La série $ \sum \frac{1}{n^2} $ est une série de Riemann convergente ($ 2 > 1 $).
   • Les termes étant de signe constant (négatif) à partir de $ n = 2 $, par le critère d'équivalence, la série $ \sum u_n $ converge.

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2. Calcul de la somme :
   • En factorisant, on transforme le terme général : \[ u_n = \ln\left(\frac{n^2 - 1}{n^2}\right) = \ln\left(\frac{(n - 1)(n + 1)}{n^2}\right) = \ln(n - 1) + \ln(n + 1) - 2\ln(n) \]
   • On réécrit $ u_n $ pour faire apparaître un double télescopage : \[ u_n = \big(\ln(n - 1) - \ln(n)\big) - \big(\ln(n) - \ln(n + 1)\big) \]
   • Pour $ N \ge 2 $, on calcule la somme partielle $ S_N = \sum_{n=2}^{N} u_n $ : \[ S_N = \sum_{n=2}^{N} \big(\ln(n - 1) - \ln(n)\big) - \sum_{n=2}^{N} \big(\ln(n) - \ln(n + 1)\big) \]
   • Par télescopage dans chaque somme, on obtient : \[ S_N = \big(\ln(1) - \ln(N)\big) - \big(\ln(2) - \ln(N + 1)\big) \] \[ S_N = -\ln(2) + \ln\left(\frac{N + 1}{N}\right) \]
   • On passe à la limite quand $ N \to +\infty $ : \[ \lim_{N \to +\infty} \ln\left(\frac{N + 1}{N}\right) = \ln(1) = 0 \]
   • La somme de la série est donc : \[ \sum_{n=2}^{+\infty} \ln\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = -\ln(2) \]

Autre méthode: Critère de majoration

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• On utilise l'inégalité classique valable pour tout $ x \in ]0, 1[ $.: \[ -\ln(1 - x) \le \frac{x}{1 - x} \]
• En appliquant cette inégalité pour $ x = \frac{1}{n^2} $ (avec $ n \ge 2 $), on obtient : \[ \left|\ln\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)\right| \le \frac{1}{n^2 - 1} \sim\dfrac{1}{n^2}\]