Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et Ă©tudier la convergence de cette suite.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Suites et séries numériques
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite de réels strictement positifs définie par :
$$u_0 = 1 \qquad \text{et} \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = \sqrt{\frac{u_n}{e}}$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Solution
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La suite $(u_n)$ est strictement positive par récurrence immédiate. En passant au logarithme népérien, la relation s'écrit :
\[ \ln(u_{n+1}) = \frac{1}{2} \ln(u_n) - \frac{1}{2} \]
Posons $v_n = \ln(u_n)$. On obtient :
\[ v_{n+1} = \frac{1}{2}v_n - \frac{1}{2} \]
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En posant $w_n = v_n + 1$, on remarque immédiatement que :
\[ w_{n+1} = \frac{1}{2}w_n \]
Soit:
\[w_n= \left(\frac{1}{2}\right)^nw_0=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\qquad (\text{car: }\quad w_0=1) \]
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On en déduit l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$ :
\[ v_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n - 1 \implies u_n = \exp\left( \frac{1}{2^n} - 1 \right) \]
Puisque $ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2^n} = 0 $, on obtient par continuité de la fonction exponentielle : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \exp(-1) = \frac{1}{e} \] La suite $(u_n)$ converge donc vers $\frac{1}{e}$.