Prouver que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Suites et séries numériques
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ tel que $b^2 - 4ac < 0$. Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites réelles telles que :
$$\lim_{n \to +\infty} \left( au_n^2 + bu_n v_n + cv_n^2 \right) = 0$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Solution SSN 1
Quitte à normaliser la forme quadratique (car $ a \neq 0 $), on peut supposer sans perte de généralité que $ a = 1 $ et remplacer $ b $ par $ 2b $. La condition $ b^2 - 4ac < 0 $ devient alors $ \Delta = b^2 - c < 0 $.En utilisant la forme canonique, l'expression s'écrit : \[ u_n^2 + 2bu_n v_n + cv_n^2 = (u_n + bv_n)^2 + (c - b^2)v_n^2 \]
Comme $ \Delta < 0 $, on a $ c - b^2 > 0 $. La suite étudiée est la somme de deux termes positifs. Puisque cette somme tend vers $ 0 $, chaque terme doit nécessairement tendre vers $ 0 $ :
- $ (c - b^2)v_n^2 \to 0 \implies v_n \to 0 $ (car $ c - b^2 > 0 $).
- $ (u_n + bv_n)^2 \to 0 \implies u_n + bv_n \to 0 $.
Par opération sur les limites, sachant que $ v_n \to 0 $, on conclut immédiatement que $ u_n \to 0 $.