1. Groupe engendré par un élément $a$

• Soit $H_a = \{a^m : m \in \mathbb{Z}\}$. Montrons d'abord que $H_a$ est un sous-groupe de $G$.
  • $e = a^0 \in H_a$.
  • Soient $x, y \in H_a$, il existe $(m, p) \in \mathbb{Z}^2$ tels que $x=a^m$ et $y=a^p$. Alors $xy^{-1} = a^m(a^p)^{-1} = a^{m-p}$. Comme $m-p \in \mathbb{Z}$, $xy^{-1} \in H_a$.
• Montrons que $H_a$ est le plus petit sous-groupe contenant $a$.
  Soit $K$ un sous-groupe de $G$ contenant $a$.
  • Par stabilité de la loi de groupe, $a \cdot a = a^2 \in K$, et par récurrence, $a^m \in K$ pour tout $m \in \mathbb{N}^*$.
  • Comme $e \in K$ et que chaque élément possède un symétrique dans $K$, $(a^m)^{-1} = a^{-m} \in K$.
  • Ainsi, $\forall m \in \mathbb{Z}, a^m \in K$, d'où $H_a \subset K$.

2. Groupe engendré par deux éléments qui commutent

Hypothèse : $ab = ba$

• Soit $H_{a,b} = \{a^m b^n : (m,n) \in \mathbb{Z}^2\}$.
• Puisque $a$ et $b$ commutent, on a $(a^m b^n)(a^p b^q) = a^{m+p} b^{n+q}$.
• L'élément neutre est $e = a^0 b^0 \in H_{a,b}$.
• Le symétrique de $a^m b^n$ est $(a^m b^n)^{-1} = b^{-n} a^{-m} = a^{-m} b^{-n} \in H_{a,b}$.
• Tout sous-groupe $K$ contenant $a$ et $b$ doit contenir leurs puissances et les produits de celles-ci par stabilité, donc $H_{a,b} \subset K$. $H_{a,b}$ est bien le sous-groupe engendré par $\{a, b\}$.

3. Cas $a^2 = b^2 = e$ et $aba = b$

Analyse de la relation de structure

• La relation $aba = b$ peut s'écrire $ab = ba^{-1}$. Comme $a^2 = e$, on a $a^{-1} = a$, donc $ab = ba$.
• Les éléments commutent. Le groupe est donc $H_{a,b} = \{a^m b^n : (m,n) \in \mathbb{Z}^2\}$.
• Or $a^2 = e$ et $b^2 = e$, donc $m, n \in \{0, 1\}$.
• Le sous-groupe est :
  \[ H = \{e, a, b, ab\} \]

4. Cas $a^4 = e, b^2 = e$ et $aba = b$

Analyse de la relation de structure

• La relation $aba = b$ implique $ab = ba^{-1}$. Comme $a^4 = e$, $a^{-1} = a^3$.
• On a donc la relation de commutation décalée : $ab = ba^3$.
• Tout élément du groupe engendré peut se mettre sous la forme $b^n a^m$ en faisant "passer" les $b$ à gauche grâce à la relation $ab = ba^3$.
• Puisque $b^2 = e$, $n \in \{0, 1\}$. Puisque $a^4 = e$, $m \in \{0, 1, 2, 3\}$.
• Le sous-groupe est :
  \[ H = \{e, a, a^2, a^3, b, ba, ba^2, ba^3\} \] Il s'agit du groupe diédral $D_4$ d'ordre 8.