Exercice Ln9 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Exercice Ln9

Exercice Publié par admin le 23 janvier 2026

Bac Sciences Mathématiques & Lycée Fonctions logarithmes Énoncé avec corrigé détaillé

Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.

Énoncé de l'exercice :

Inégalité de Bernoulli et convexité

Soit $\alpha \geq 1$. On considère la fonction $f$ :
\begin{align*} f : &]-1, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto (1+x)^\alpha\\ \end{align*}

Montrer que $f$ est convexe sur son domaine de définition.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $x=0$.
En déduire l'inégalité de Bernoulli : \[ (1+x)^\alpha \geq 1 + \alpha x, \quad \forall x \in ]-1, +\infty[ \]
Discuter le sens de l'inégalité pour $\alpha \in ]0, 1[$.

Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet

Convexité de $f$
- $f'(x) = \alpha(1+x)^{\alpha-1}$ et $f''(x) = \alpha(\alpha-1)(1+x)^{\alpha-2}$.
- Si $\alpha \geq 1$, alors $f''(x) \geq 0$ car $(1+x) > 0$.
  $f$ est donc convexe sur $]-1, +\infty[$.
Tangente en $x=0$
- $f(0) = 1$ et $f'(0) = \alpha$.
- L'équation de la tangente $(T)$ est $y = \alpha x + 1$.
Inégalité de Bernoulli
- Par convexité, la courbe de $f$ est au-dessus de sa tangente $(T)$.
- On en déduit : $(1+x)^\alpha \geq 1 + \alpha x$.
Cas $\alpha \in ]0, 1[$
- Si $0 < \alpha < 1$, $f''(x) \leq 0$. $f$ est concave.
- La courbe est en dessous de la tangente : $(1+x)^\alpha \leq 1 + \alpha x$.