Correction : Étude croisée des fonctions $f$, $g$ et $h$

Partie A : Étude des fonctions auxiliaires $g$ et $h$

1. Domaines de définition

   • Pour $f(x) = x^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{\log x}{x}}$, la fonction logarithme et la base de l'exponentielle exigent $x > 0$. Donc $D_f = ]0, +\infty[$.
   • Pour $g(x)$ et $h(x)$, la présence de $\log(x)$ impose $x > 0$. La racine carrée impose $x^2+x \ge 0$, ce qui est toujours vérifié sur $]0, +\infty[$.
   • Conclusion : $D_f = D_g = D_h = ]0, +\infty[$.



2. Dérivées et monotonie de $g$ et $h$

   • On a $g'(x) = \dfrac{1}{x} + 1 + \dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}$. Pour tout $x > 0$, tous les termes sont strictement positifs, donc $g'(x) > 0$. $g$ est strictement croissante.
   • On a $h'(x) = \dfrac{1}{x} + 1 - \dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}} = \dfrac{x+1}{x} - \dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}$.
   • Pour étudier son signe, on décompose le numérateur $2x+1 = 2(x+1) - 1$ :
     \[ h'(x) = \dfrac{x+1}{x} - \dfrac{2(x+1)}{2\sqrt{x(x+1)}} + \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+x}} \] \[ h'(x) = \dfrac{x+1}{x} - \sqrt{\dfrac{x+1}{x}} + \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+x}} \]
   • Posons $t = \sqrt{\dfrac{x+1}{x}}$. Pour $x > 0$, on a $\dfrac{x+1}{x} = 1 + \dfrac{1}{x} > 1$, donc $t > 1$.
   • Les deux premiers termes donnent $t^2 - t = t(t-1) > 0$. Le troisième terme est strictement positif.
   • Par somme de termes strictement positifs, $h'(x) > 0$. La fonction $h$ est strictement croissante.

3. Existence et unicité des racines (Théorème de la bijection)

   1. Les fonctions $g$ et $h$ sont continues et strictement croissantes sur $]0, +\infty[$.
      Elles réalisent donc des bijections de $]0, +\infty[$ vers leurs images.
   2. Pour $g(x)$ : $\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$. L'intervalle image est $\mathbb{R}$ qui contient $0$. L'équation $g(x)=0$ admet donc une racine unique $a$.
   3. Pour $h(x)$ : $\lim_{x \to 0^+} h(x) = -\infty$. Pour la limite en $+\infty$, on remarque que pour tout $x > 0$ : \[ x^2+x < x^2+x+\dfrac{1}{4} \implies x^2+x < \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 \]
   4. Puisque $x > 0$, la fonction racine carrée donne $\sqrt{x^2+x} < x+\dfrac{1}{2}$, ce qui implique $-\sqrt{x^2+x} > -x-\dfrac{1}{2}$.
   5. En ajoutant le terme $x-1$ aux deux membres de l'inégalité, on obtient : \[ x-1-\sqrt{x^2+x} > x-1-x-\dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{2} \]
   6. On en déduit la minoration de la fonction $h$ : $h(x) > \log(x) - \dfrac{3}{2}$.
   7. Comme $\lim_{x \to +\infty} \log(x) - \dfrac{3}{2} = +\infty$, on conclut par comparaison que $\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty$.
   8. L'équation $h(x)=0$ admet donc également une racine unique $b$.
   
   

4. Étude des branches infinies

   • En $0^+$ : $\lim_{0^+} g(x) = \lim_{0^+} h(x) = -\infty$. La droite d'équation $x=0$ est une asymptote verticale pour les deux courbes.
   • En $+\infty$ pour $g$ : $\lim_{+\infty} \dfrac{g(x)}{x} = \lim_{+\infty} \left( \dfrac{\log x}{x} + 1 - \dfrac{1}{x} + \sqrt{1+\dfrac{1}{x}} \right) = 2$.
     Puis, $\lim_{+\infty} (g(x) - 2x) = \lim_{+\infty} \left( \log x - 1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} \right) = +\infty$.
     La courbe de $g$ admet une branche parabolique de direction $y=2x$.
   • En $+\infty$ pour $h$ : $\lim_{+\infty} \dfrac{h(x)}{x} = 0$.
     La courbe de $h$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses $(Ox)$.



5. Tracé des courbes représentatives

   • Courbe $\mathcal C_g$ et $\mathcal C_h$

     Légende:

     $g(x) = \log x +x-1+\sqrt{x^2+x}$

     $h(x) = \log x +x-1-\sqrt{x^2+x}$

     y= 2x

Partie B : Étude de la fonction $f$

1. Limite en $0^+$

   • On sait que $\lim_{x \to 0^+} \log(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$.
   • Par produit, $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\log x}{x} = -\infty$.
     Par composition avec l'exponentielle, $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = 0$.



2. Limite en $+\infty$

   • D'après les croissances comparées, $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\log x}{x} = 0$.
   • Par continuité de la fonction exponentielle en $0$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = e^0 = 1$.
     L'axe des abscisses $y=1$ est asymptote horizontale.



3. Calcul de la dérivée $f'(x)$

   • On écrit $f(x) = e^{\frac{\log x}{x}}$.
     On pose $u(x) = \dfrac{\log x}{x}$
     D'où $u'(x) = \dfrac{\frac{1}{x}\cdot x - \log x}{x^2} = \dfrac{1 - \log x}{x^2}$.
   • En appliquant $(e^u)' = u' e^u$, on obtient :
     $f'(x) = \dfrac{1-\log x}{x^2} e^{\frac{\log x}{x}}$.



4. Tangente au point d'abscisse $x=1$ et position relative

   • On a: $~f(1) = 1~$ et $~f'(1) = \dfrac{1-0}{1}e^0 = 1$.
     L'équation de la tangente est: $~y = 1(x-1) + 1 \implies$ $y = x$.
   • Position de $C_f$ : Comme nous le verrons avec $f''(x)$, la fonction est concave sur $]a, b[$. Puisque $1 \in ]0,58 ; 4,7[$, la courbe est localement située en dessous de sa tangente.



5. Calcul de la dérivée seconde $f''(x)$

   • On a $f'(x) = \dfrac{1-\log x}{x^2} f(x)$. En dérivant ce produit :
     $f''(x) = \left( \dfrac{-\frac{1}{x}x^2 - 2x(1-\log x)}{x^4} \right) f(x) + \dfrac{1-\log x}{x^2} f'(x)$
   • En remplaçant $f'(x)$ par son expression, on factorise par $\dfrac{f(x)}{x^4}$ :
     $f''(x) = \dfrac{-x - 2x + 2x\log x + (1-\log x)^2}{x^4} f(x)$
   • En développant et en regroupant, on trouve bien : $f''(x) = \dfrac{(\log x)^2 + 2(x-1)\log x - (3x-1)}{x^4} f(x)$.



6. Lien avec $~g(x)=0$ ou $~h(x)=0$

   • Puisque $~x^4 > 0$ et $f(x) > 0$, le signe de $~f''(x)~$ dépend du numérateur.
     Posons $~X = \log x$. L'équation $f''(x)=0$ revient à l'équation du second degré :
     \[X^2 + 2(x-1)X - (3x-1) = 0\]
   • Le discriminant réduit est: $~\Delta' = (x-1)^2 - (-3x+1) = x^2+x$.
   • Les racines sont $X = -(x-1) \pm \sqrt{x^2+x}$.
   • Ceci équivaut à $\log x + x - 1 \mp \sqrt{x^2+x} = 0$, ce qui correspond exactement aux équations $g(x) = 0$ et $h(x) = 0$.



7. Interprétation des points

   • Puisque la dérivée seconde $f''(x)$ s'annule en $a$ et $b$ en changeant de signe (car $g$ et $h$ sont strictement monotones et changent de signe en ces points), les points de coordonnées $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$ sont les points d'inflexion de la courbe $C_f$.

Application : Maximalisation de $\sqrt[n]{n}$

• On cherche à maximiser $\sqrt[n]{n} = n^{\frac{1}{n}} = f(n)$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.
• D'après le tableau de variations ci-dessus, le maximum absolu de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ est atteint en $x = e \approx 2,718$.
• Puisque $n$ doit être un entier naturel, le maximum se trouve nécessairement pour $n=2$ ou $n=3$.
• Comparons $f(2)$ et $f(3)$ : $f(2) = \sqrt{2} \approx 1,414$ et $f(3) = \sqrt[3]{3} \approx 1,442$.
• Conclusion : L'entier naturel qui maximise l'expression est $n = 3$.