Exercice Ln11 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Exercice Ln11

Exercice Publié par admin le 23 janvier 2026

Bac Sciences Mathématiques & Lycée Fonctions logarithmes Énoncé avec corrigé détaillé

Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.

Énoncé de l'exercice :

On considère la fonction $f$ définie sur $]1; +\infty[$ par : \[ \begin{align*} f : &]1; +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \ln(\ln x)\\ \end{align*} \]

Étudier les variations de la fonction $f$.

Soit $~k\geq 2~$ dans $~\Bbb N~$. Montrer que : \[ 0 \le f(k+1) - f(k) \le \frac{1}{k \ln k} \]

On pose pour tout entier $n \ge 2$ : \[ S_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \ln k} \] Déterminer la limite de la suite $(S_n)_{n \ge 2}$.

Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet

Variations de $f$
- $f'(x) = \frac{1}{x \ln x}$. Comme $x > 1$, $x$ et $\ln x$ sont positifs, donc $f'(x) > 0$.
- La fonction $f$ est strictement croissante sur $]1; +\infty[$.
Inégalité sur $f(k+1)-f(k)$
- Par le TAF sur $[k, k+1]$, $f(k+1)-f(k) = f'(c)$ avec $c \in ]k, k+1[$.
- La fonction $f'$ est décroissante, donc $f'(c) \le f'(k) = \frac{1}{k \ln k}$.
- D'où $0 \le f(k+1) - f(k) \le \frac{1}{k \ln k}$.
Limite de $S_n$
- Par sommation : $S_n \ge \sum_{k=2}^n (f(k+1) - f(k)) = f(n+1) - f(2)$.
- $S_n \ge \ln(\ln(n+1)) - \ln(\ln 2)$.
- Comme $\lim_{n \to +\infty} \ln(\ln(n+1)) = +\infty$, on en déduit que $\lim_{n \to +\infty} S_n = +\infty$.