Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f$ et $g$ définies sur $[e; e^2]$ par :
$$f(x) = \frac{x+1}{x \ln x} \quad \text{et} \quad g(x) = \frac{1}{\ln x}$$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Calcul intégral
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Le plan est rapporté à un repÚre orthogonal $(O; \vec{i}, \vec{j})$ avec $\|\vec{i}\| = 2cm$ et $\|\vec{j}\| = 4cm$.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Correction
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Ătude de la position relative des courbes
- Pour calculer l'aire du domaine, on étudie le signe de la différence $f(x) - g(x)$ sur l'intervalle $[e, e^2]$.
- Pour tout $x \in [e, e^2]$ : \[ f(x) - g(x) = \frac{x+1}{x \ln x} - \frac{1}{\ln x} = \frac{x+1}{x \ln x} - \frac{x}{x \ln x} = \frac{1}{x \ln x} \]
- Sur l'intervalle $[e, e^2]$, on a $x > 0$ et $\ln x \ge 1 > 0$. Le produit $x \ln x$ est donc strictement positif.
- On en déduit que pour tout $x \in [e, e^2]$, $f(x) - g(x) > 0$. La courbe de la fonction $f$ est strictement au-dessus de la courbe de la fonction $g$. La valeur absolue se lÚve donc naturellement : $|f(x) - g(x)| = \frac{1}{x \ln x}$.
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Calcul de l'intégrale en unités d'aire (u.a.)
- L'aire du domaine en unités d'aire est donnée par : \[ \mathcal{A}_{\text{u.a.}} = \int_e^{e^2} |f(x) - g(x)| \,dx = \int_e^{e^2} \frac{1}{x \ln x} \,dx \]
- Remarquons que l'intégrande peut s'écrire sous la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$ en posant $u(x) = \ln x$ (dont la dérivée est $u'(x) = \frac{1}{x}$) : \[ \frac{1}{x \ln x} = \frac{\frac{1}{x}}{\ln x} \]
- Une primitive sur $[e, e^2]$ est donc de la forme $x \longmapsto \ln(|u(x)|)$. Puisque $\ln x > 0$ sur cet intervalle, on peut se passer de la valeur absolue : $x \longmapsto \ln(\ln x)$.
- Calculons la valeur de l'intégrale : \[ \int_e^{e^2} \frac{1}{x \ln x} \,dx = \left[ \ln(\ln x) \right]_e^{e^2} = \ln(\ln(e^2)) - \ln(\ln e) \]
- Sachant que $\ln(e^2) = 2$ et $\ln(e) = 1$, et que $\ln(1) = 0$ : \[ \mathcal{A}_{\text{u.a.}} = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) \text{ u.a.} \]
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Conversion en centimÚtres carrés
- Le repÚre étant orthogonal, une unité d'aire (u.a.) correspond à l'aire du rectangle formé par les vecteurs de base $\vec{i}$ et $\vec{j}$.
- Calculons la valeur géométrique de cette unité d'aire : \[ 1 \text{ u.a.} = \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\| = 2\text{ cm} \times 4\text{ cm} = 8\text{ cm}^2 \]
- L'aire finale du domaine en centimÚtres carrés est donc : \[ \mathcal{A} = 8 \ln(2) \text{ cm}^2 \]