- $F_5$, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y'+x y=0$.
- $F_7 = \{f \in \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R}), ~~\displaystyle\int_{-1}^1 f(t) \, dt = 0 \}$.
- $F_8 = \{f \in \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R}), \forall x\in\mathbb{R}, f(x)=f(2x)\}$.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Espaces vectoriels
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Souespaces de $\mathcal{F}\left(\mathbb{R}~;~\mathbb{R}\right):$
Soit $~E=\mathcal{F}\left(\mathbb{R}~;~\mathbb{R}\right),~$ l'espace vectoriel réel des fonctions numériques définies sur $\mathbb {R}$.
Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $~E~$?
Justifier votre réponse.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
On désigne par $\Theta$ la fonction nulle et on considÚre $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$.
-
Cas de $F_1$ (Ăquation diffĂ©rentielle) :
- $F_1 \subset E$ et $\Theta' + x\Theta = 0 + 0 = 0$, donc $\Theta \in F_1$.
- Soient $f, g \in F_1$. Par linéarité de la dérivation : $$(\alpha f + \beta g)' + x(\alpha f + \beta g) = \alpha(f' + xf) + \beta(g' + xg) = \alpha(0) + \beta(0) = 0$$
- Ainsi $\alpha f + \beta g \in F_1$. $F_1$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
-
Cas de $F_2$ (Intégrale nulle) :
- $F_2 \subset \mathcal{C}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $\int_{-1}^1 0 \, dt = 0$, donc $\Theta \in F_2$.
- Soient $f, g \in F_2$. Par linéarité de l'intégrale : $$\int_{-1}^1 (\alpha f + \beta g)(t) dt = \alpha \int_{-1}^1 f(t) dt + \beta \int_{-1}^1 g(t) dt = \alpha(0) + \beta(0) = 0$$
- Donc $\alpha f + \beta g \in F_2$. $F_2$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
-
Cas de $F_3$ (Invariance par homothétie) :
- $F_3 \subset \mathcal{C}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $\Theta(x) = \Theta(2x) = 0$, donc $\Theta \in F_3$.
- Soient $f, g \in F_3$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$(\alpha f + \beta g)(2x) = \alpha f(2x) + \beta g(2x) = \alpha f(x) + \beta g(x) = (\alpha f + \beta g)(x)$$
- La condition d'invariance est vérifiée, donc $\alpha f + \beta g \in F_3$.
- Conclusion : $F_3$ est un sous-espace vectoriel de $E$.