- $G_1=\mathbb{Z}$
- $G_2=\mathbb{Q}$
- $G_3=\left\{ (x;y)\in\mathbb{R}^2 \ /\ x\geqslant y\right\}$
- $G_4,~ $ensemble des fonctions réelles positives ou nulles.
- $G_5~$, ensemble des suites réelles croissantes.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Espaces vectoriels
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
On considĂšre les ensembles suivants :
VĂ©rifier que chacun des ensembles ci-dessus contient le vecteur nul.
Justifier que ces ensembles sont stables par addition.
Vérifier que ces ensembles ne sont pas stables par multiplication par un réel.
Que pouvez-vous en déduire ?
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Facile à vérifier.
- La somme de deux nombres relatifs est un nombre relatif.
- La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel.
- $\big(x\geqslant y~$ et $~x'\geqslant y'\big)~\Longrightarrow~ x+x'\geqslant y+y'. $
- Si $f$ et $g$ sont deux fonctions réelles positives ou nulles, alors $f+g$ est une fonction réelle positive ou nulle.
- Si $u$ et $v$ sont deux suites réelles croissantes, alors $u+v$ est également une suite croissante.
-
- $1\in \Bbb Z\subset\Bbb Q$ mais $1\times\sqrt{2}=\sqrt{2}\notin\Bbb Q$. Donc $G_1$ et $G_2$ ne sont pas stables par multiplication par un réel.
- $(2,1)\in G_3$, mais $(-1)\times (2,1)=(-2,-1)\notin G_3$.
- la fonction $f~:~\mapsto~x^2+1~$ est positive, mais la fonction $(-1)\times f~=~g~:~\mapsto~-x^2-1~$est strictement négative !
- De la mĂȘme façon que la question prĂ©cĂ©dente, la suite $u$ dĂ©finie par $u_n=n$ est croissante, mais la suite $v=-u$ dĂ©finie par $v_n=-n$ est strictement dĂ©croissante.
- Tous ces ensembles ne sont pas stables par multiplication par un scalaire et ne sont donc pas des espaces vectoriels.