- Dans l'espace vectoriel $\mathbb R[X]$, le polynÎme $P(X)=16X^3-7X^2+21X-4$ est-il combinaison linéaire de:
$P_1(X)=8X^3-5X^2+1\quad$ et $\quad P_2(X)=X^2+7X-2$? - Dans l'espace vectoriel $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, la fonction:
$x\mapsto \sin(2x)$ est-elle combinaison linéaire des fonctions $\sin$ et $\cos$?
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Espaces vectoriels
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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Soient:
$P_1(X) = 8X^3 - 5X^2 + 1$,
$P_2(X) = X^2 - 2$
$P(X) = 16X^3 - 7X^2 + 21X - 4$.- On rappelle que la famille $\mathcal{B} = (1, X, X^2, X^3)$ est une base de l'espace des polynÎmes de degré inférieur ou égal à 3 ($\mathbb{R}_3[X]$).
- On observe que $P_1$ et $P_2$ appartiennent au sous-espace :
$F = \text{Vect}(1, X^2, X^3)$. - Or, l'espace engendré par $P_1$ et $P_2$ est inclus dans $F$ :
$\text{Vect}(P_1, P_2) \subset \text{Vect}(1, X^2, X^3)$. - L'espace $F$ contient uniquement des polynĂŽmes dont le coefficient de $X$ est nul. Toutefois, dans le polynĂŽme $P(X)$, le coefficient de $X$ est $21$.
- Conclusion :
Comme $X \notin F$, alors $P \notin \text{Vect}(1, X^2, X^3)$.
Par conséquent, $P$ n'est pas une combinaison linéaire de $P_1$ et $P_2$.