Indépendance linéaire dans un espace vectoriel

Soient trois vecteurs $x, y$ et $z$ linéairement indépendants d'un espace vectoriel $E$. En est-il de même des vecteurs $x + y, x + z$ et $y + z$ ? Justifier votre réponse.

Solution de l'exercice

• Soient $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ tels que :
  $a(x + y) + b(x + z) + c(y + z) = 0_E$.
• Ceci est équivalent à :
  $(a + b)x + (a + c)y + (b + c)z = 0_E$.
• Or, la famille $(x, y, z)$ est libre (linéairement indépendante), alors : \[\left\{ \begin{matrix} a + b = 0 & \quad \textbf{(1)} \\ a + c = 0 & \quad \textbf{(2)} \\ b + c = 0 & \quad \textbf{(3)} \end{matrix} \right.\]
• De l'opération $\textbf{(1)} - \textbf{(2)} + \textbf{(3)}$, il vient que $2b = 0$, donc $b = 0$.
• En remplaçant $b$ par $0$ dans $\textbf{(1)}$ et $\textbf{(3)}$, on obtient $a = 0$ et $c = 0$.
• Comme $a = b = c = 0$, la famille $(x + y, x + z, y + z)$ est donc libre.