- Montrer que tout $~~\bar x~~$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}:\quad {\bar x}^3-\bar x=\bar 0~~$
- En déduire que: $~~\quad 3\mid (n^3-n)~~$ pour tout $~~n~~$ dans $~~\mathbb{Z}~~$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Arithmétique
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- On a: $$~~\bar x^3-\bar x=\bar x(\bar x^2-1)=(\bar x -\bar 1)\bar x (\bar x + \bar 1)=\overline{(x-1)x(x+1)}~~$$
On a: $~~(x-1)x(x+1)~~$ est le produit de trois entiers relatifs consécutifs; donc l'un d'entre eux est nécessairement un multiple de 3.
$\Rightarrow ~~\overline{(x-1)x(x+1)}=\bar 0~~$ Par conséquent: $~~\bar x^3 - \bar x=0\mod 3$ - C'est une conséquence immédiate de la question précédente.
En effet:
$~~\overline{n^3-n}=\bar 0\Leftrightarrow n^3-n~~$ est un multiple de 3