Résoudre dans $\mathbb{N}^*\times \mathbb{N}^*$ les équations suivantes :
- $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{17}$
- $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{5}$
- $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{3}{2}$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Arithmétique
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Soit $(a,b,c)$ trois entiers naturels strictement positifs :
Résoudre dans $\mathbb{N}^*\times \mathbb{N}^*$ les équations suivantes :
Résoudre dans $\mathbb{N}^*\times \mathbb{N}^*$ les équations suivantes :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- On a l'équation : \[ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{17} \] En réduisant au même dénominateur, cela implique : \[ ab-17(a+b)=0 \] Ce qui se factorise en : \[ (a-17)(b-17)=17^2 \] Puisque $a$ et $b$ sont des entiers strictement positifs, on a les possibilités suivantes (sachant que $17$ est premier) : \begin{align*} a-17 &= 1 \qquad &\text{et} \qquad b-17 &= 289 \\ a-17 &= 17 \qquad &\text{et} \qquad b-17 &= 17 \\ a-17 &= 289 \qquad &\text{et} \qquad b-17 &= 1 \end{align*} L'ensemble $S$ des couples $(a,b)$ solutions est donc : \[ S=\{~(18,306)~;~(34,34)~;~(306,18)~\} \]
- On a l'équation : \[ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{5} \] En réduisant au même dénominateur, on obtient : \begin{align*} 2ab-5(a+b) &= 0 \\ 4ab-10(a+b) &= 0 \end{align*} Ce qui se factorise en : \[ (2a-5)(2b-5)=25 \] Vu que $a>0$ et $b>0$, les diviseurs de $25$ mènent aux seuls cas possibles suivants : \begin{align*} 2a-5 &= 1 \qquad &\text{et} \qquad 2b-5 &= 25 \\ 2a-5 &= 5 \qquad &\text{et} \qquad 2b-5 &= 5 \\ 2a-5 &= 25 \qquad &\text{et} \qquad 2b-5 &= 1 \end{align*} L'ensemble $S$ des couples $(a,b)$ solutions est donc : \[ S=\{~(3,15)~;~(5,5)~;~(15,3)~\} \]
-
On a l'équation :
\[ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{3}{2} \]
On suppose, sans perte de généralité, que $a\geq b\geq c$, ce qui implique :
\[ \dfrac{1}{a}\leq \dfrac{1}{b}\leq \dfrac{1}{c} \]
Il est clair que :
\[ \dfrac{3}{c}\geq \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{3}{2} \]
On a donc $c\leq 2$, ce qui donne $c \in \{1, 2\}$.
Cas $c=2$ :
L'équation devient $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1$, ce qui implique : \[ (a-1)(b-1)=1 \] La seule possibilité donne $(a,b)=(2,2)$.Cas $c=1$ :
L'équation devient $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2}$. Compte tenu de la condition $a\geq b$, cela implique : \[ (a-2)(b-2)=4 \] Les diviseurs de $4$ donnent les possibilités : \begin{align*} a-2 &= 2 \qquad &\text{et} \qquad b-2 &= 2 \\ a-2 &= 4 \qquad &\text{et} \qquad b-2 &= 1 \end{align*} Les couples $(a,b)$ solutions sont donc $(4,4)$ et $(6,3)$.
Conclusion :
Les triplets $(a,b,c)$ solutions avec $a\geq b\geq c$ sont : \[ \{~(2,2,2)~;~(4,4,1)~;~(6,3,1)~\} \]