- Montrer que si $~n~$ est un entier naturel impair alors: $~n^2\equiv 1 \mod 8$
- Montrer que si $n$ est un entier naturel impair alors: $n^{16}\equiv 1 \mod 2^6$
- Soit p un nombre premier: $~(~p\geq 19~)~$. Montrer que: $$16320\mid (p^{16}-1)$$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Arithmétique
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Un entier impair est nécessairement dans l'une des classes modulo 8 suivantes:
$$\quad\{1,3,5,7\} \mod 8$$
Or :
$1^2=3^2=5^2=7^2=1\mod 8$
Donc si $~~n~~$ est pair alors $~~n^2=1\mod 8$
- Soit $~n~$ un entier impair alors:
- $n^{16}-1=(n^8-1)(n^8+1)$
- $n^{16}-1=(n^4-1)(n^4+1)(n^8+1)$
- $n^{16}-1=(n^2-1)(n^2+1)(n^4+1)(n^8+1)$
- $(n^2+1);(n^4+1);(n^8+1)$ sont pairs.
- $(n^2-1)$ est un multiple de 8
$~n^{16}-1~$ est un multiple de $~2^6$.
- On a:
$p\geq 19\Rightarrow p\land 17=1$
D'autre part: $16320=2^6\times 3\times 5\times 17$
Par conséquent:- $p^{16}=1 \mod 17\qquad$ (th. Fermat).
- $p^{16}=1\mod 3\qquad$ car $\qquad p^{2}=1\mod 3$ (th. Fermat)
- $p^{16}=1\mod 5\qquad$ car $\qquad p^4=1\mod 5$ (th. Fermat)
- $p^{16}=1\mod 2^6\qquad$ (question précédente)
Ce qui implique que:
$(n^{16}-1)~~$ est divisible par:$~~2^6\times 3\times 5\times 17$
Et donc:
$(n^{16}-1)~~$ est divisible par $~~16320$