Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Arithmétique
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Soit $n\in \mathbb{N^*}$, on pose:
$$\begin{cases} a_n=15n^2+8n+6\\b_n=30n^2+21n+13\\
\end{cases}$$
Calculer: $~~~b_n -2a_n~~$ et en déduire que: $~~a_n\land b_n=1$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- On a:
$$b_n-2a_n=(30n^2+21n+13)-2(15n^2+8n+6)=5n+1$$ Donc On a:
$$\begin{array}{llclclcc} {\color{magenta}b_n}&=&2&\times&{\color{magenta}a_n}&+&{\color{magenta}(5n+1)}\\ {\color{magenta}a_n}&=&(3n+1)&\times &{\color{magenta}(5n+1)}&+&{\color{magenta}5}\\ {\color{magenta}(5n+1)}&=&n&\times& {\color{magenta}5}&+&{\color{magenta}\boxed 1}\\ {\color{magenta}5}&=&5&\times& {\color{magenta}1}&+&{\color{magenta}0} \end{array}$$ Le tableau ci dessus représente l'algorithme d'euclide pour $~(b_n,a_n)~$
En effet on a: $$\begin{cases} (5n+1)\lt a_n\\\\5\lt 5n+1\\\\ 1\lt 5 \end{cases}$$ Et donc le pgcd de $~~a_n~,~b_n~~$ est le dernier reste non nul: $${\color{blue} \boxed{~~a_n\land b_n =1~~}}$$