- Résoudre les equations suivantes:
- $$7x=1\mod 17$$
- $$7x=1\mod 23$$
- Trouver l'entier $x:\quad ~~1\leq x\leq 390~~$ solution du système suivant: $$\begin{cases} 7x=1\mod 17 \\\\ 7x=1\mod 23 \\ \end{cases}$$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Arithmétique
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- .
- On cherche à résoudre: $$~~7x=1\mod 17$$ En multiplions les deux membres par 5: $$~~35x=5\mod 17$$ Et donc: $$\boxed{x=5\mod 17}\quad (1)$$
- considérons maintenant l'équation modulaire: $$7x=1\mod 23$$ En multipliant par 3: $$21x=3\mod 23$$ qu'on peut écrire: $$-2x=-20\mod 23$$ et puisque (-2) est inversible dans $\mathbb Z/23\mathbb Z$ car ce dernier est un corps: $$\boxed{x=10\mod 23}\quad (2)$$
- Passons à la résolution du système suivant:
Cherchons $~~1\leq x \leq 390$ $$(S)~\begin{cases} 7x=1\mod 17\\7x=1\mod 23 \end{cases}$$ On a: $17\times 23=391$ alors il suffit de trouver $~~x\in \mathbb Z/391\mathbb Z~~$ tel que:$$7x=1\mod 391$$ Or on sait déjà (voir (2) ci dessus) que: $x=10\mod 23$
autrement dit: $x=10+23k$
Il suffit de chercher k tel que x vérifie l'équation (1) ci-dessus.
Autrement dit:
$(10+23k)=5\mod 17$
$\Rightarrow 6k=-5=12\mod 17\quad (\mbox{car:}~23=6\mod 17\quad)$
$\Rightarrow k=2\mod 17$
On prend:
$x=10+23k=10+46=56$
$$\boxed{x=56}$$ Récapitulons:
- $~x~$ vérifie les équations $(1)$ et $~(2)~$ ( donc $~x~$ est solution du système d'équation modulaire $~(S)~$ )
- Donc $(7x-1)~$ est à la fois divisible par $~23~$ et $~17$
- Et puisque $~17~$ et $~23~$ sont deux nombres premiers alors:$(7x-1)~$ est divisible par: $~23\times 17=391~$
Conclusion:
$x=56~$ vérifie l'équation modulaire: $$\boxed{7x=1\mod 391}~$$