Nature des intégrales généralisées
  1. L'intégrande est continu sur son domaine de définition $ ]1, +\infty[ $. Points singuliers en $ 1 $ et $ +\infty $.
    En $ 1^+ $ : \[ \ln\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right) \underset{1^+}{\sim} -\ln(x-1) \] L'intégrale de $ \ln $ converge en $ 0 $.
    En $ +\infty $ : \[ \ln\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right) = \ln\left(1 + \frac{2}{x^2 - 1}\right) \underset{+\infty}{\sim} \frac{2}{x^2} \] Intégrale de Riemann convergente ($ \alpha = 2 > 1 $).
    Conclusion : Convergente.
  2. Point singulier en $ +\infty $. L'intégrande se réécrit : \[ \sqrt[3]{x^3 + 1} - x = x\left( \left(1+\frac{1}{x^3}\right)^{1/3} - 1 \right) \underset{+\infty}{\sim} x \left(\frac{1}{3x^3}\right) = \frac{1}{3x^2} \] Intégrale de Riemann convergente ($ \alpha = 2 > 1 $).
    Conclusion : Convergente.
  3. L'intégrande est continu sur son domaine de définition $ [0, \frac{\pi}{2}[ $. Point singulier en $ \frac{\pi}{2} $.
    En posant $ u = \frac{\pi}{2} - x \to 0 $ : \[ \tan x = \frac{1}{\tan u} \underset{0}{\sim} \frac{1}{u} \implies \sqrt{\tan x} \underset{(\pi/2)^-}{\sim} \frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{2} - x}} \] Intégrale de Riemann convergente ($ \alpha = \frac{1}{2} < 1 $).
    Conclusion : Convergente.
  4. Points singuliers en $ 0 $ et $ +\infty $.
    En $ 0 $ : la fonction est prolongeable par continuité car $ \frac{x}{e^x - 1} \underset{0}{\to} 1 $.
    En $ +\infty $ : \[ \frac{x}{e^x - 1} \underset{+\infty}{\sim} x e^{-x} = o\left(\frac{1}{x^2}\right) \] Par critÚre de comparaison (croissances comparées), l'intégrale converge.
    Conclusion : Convergente.
  5. Points singuliers en $ 1 $ et $ +\infty $.
    En $ 1^+ $ : $ t^5 - 1 \sim 5(t-1) $ d'oĂč : \[ \frac{1}{\sqrt[3]{t^5 - 1}} \underset{1^+}{\sim} \frac{1}{\sqrt[3]{5}(t-1)^{1/3}} \] Convergente ($ \alpha = \frac{1}{3} < 1 $).
    En $ +\infty $ : \[ \frac{1}{\sqrt[3]{t^5 - 1}} \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{t^{5/3}} \] Convergente ($ \alpha = \frac{5}{3} > 1 $).
    Conclusion : Convergente.
  6. Points singuliers en $ 0 $ et $ \frac{\pi}{2} $.
    En $ 0^+ $ : \[ \ln(\tan x) \underset{0^+}{\sim} \ln x \] L'intégrale converge en $ 0 $.
    En $ (\pi/2)^- $ : on pose $ u = \frac{\pi}{2} - x \to 0 $, \[ \ln(\tan x) = -\ln(\tan u) \underset{0^+}{\sim} -\ln u \] L'intégrale converge également.
    Conclusion : Convergente.
  7. Point singulier en $ +\infty $.
    \[ \sqrt{x^2 + 2x + 2} - x - 1 = (x+1)\sqrt{1 + \frac{1}{(x+1)^2}} - (x+1) \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{2x} \] Il s'agit d'une intégrale de Riemann divergente ($ \alpha = 1 $).
    Conclusion : Divergente.
  8. Point singulier en $ 1 $.
    En $ 1^- $ : $ 1 - \sqrt{x} \sim \frac{1-x}{2} $ d'oĂč : \[ \frac{1}{1 - \sqrt{x}} \underset{1^-}{\sim} \frac{2}{1 - x} \] IntĂ©grale de Riemann divergente ($ \alpha = 1 $).
    Conclusion : Divergente.
  9. Point singulier en $ 0 $.
    En $ 0^+ $ : $ 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} $ d'oĂč : \[ \frac{1 - \cos x}{x^{5/2}} \underset{0^+}{\sim} \frac{1}{2x^{1/2}} \] IntĂ©grale de Riemann convergente ($ \alpha = \frac{1}{2} < 1 $).
    Conclusion : Convergente.
  10. Points singuliers en $ 0 $ et $ +\infty $.
    En $ 0^+ $ : $ e^{-x} \to 1 $, donc \[ \frac{(\ln x)^2 e^{-x}}{\sqrt{x}} \underset{0^+}{\sim} \frac{(\ln x)^2}{x^{1/2}} = o\left(\frac{1}{x^{3/4}}\right) \] Convergente (Riemann avec $ \alpha = \frac{3}{4} < 1 $).
    En $ +\infty $ : \[ \frac{(\ln x)^2 e^{-x}}{\sqrt{x}} = o\left(\frac{1}{x^2}\right) \] Convergente.
    Conclusion : Convergente.
  11. L'intégrande est continu sur son domaine de définition $ [0, +\infty[ $. Point singulier en $ +\infty $.
    En $ +\infty $ : \[ \frac{1}{e^t + t^2 e^{-t}} \underset{+\infty}{\sim} e^{-t} \] L'intégrale de l'exponentielle décroissante converge.
    Conclusion : Convergente.
  12. Points singuliers en $ 0 $ et $ +\infty $.
    En $ 0^+ $ : $ \ln(1+\sqrt{x}) \sim \sqrt{x} $ d'oĂč : \[ \frac{\ln(1 + \sqrt{x})}{x\sqrt{1 + x^2}} \underset{0^+}{\sim} \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \] Convergente ($ \alpha = \frac{1}{2} < 1 $).
    En $ +\infty $ : \[ \frac{\ln(1 + \sqrt{x})}{x\sqrt{1 + x^2}} \underset{+\infty}{\sim} \frac{\ln(x)}{2x^2} = o\left(\frac{1}{x^{3/2}}\right) \] Convergente.
    Conclusion : Convergente.
  13. Points singuliers en $ 0 $ et $ +\infty $.
    En $ 0^+ $ : \[ \frac{1}{\sqrt{x(1 + e^x)}} \underset{0^+}{\sim} \frac{1}{\sqrt{2x}} \] Convergente ($ \alpha = \frac{1}{2} < 1 $).
    En $ +\infty $ : \[ \frac{1}{\sqrt{x(1 + e^x)}} \underset{+\infty}{\sim} \frac{e^{-x/2}}{\sqrt{x}} = o\left(\frac{1}{x^2}\right) \] Convergente.
    Conclusion : Convergente.
  14. Points singuliers en $ 0 $ et $ +\infty $.
    En $ 0 $ : $ \sinh x \sim x $, la fonction se prolonge par continuité en posant $ f(0) = 0 $.
    En $ +\infty $ : \[ \frac{x^2}{\sinh x} \underset{+\infty}{\sim} 2x^2 e^{-x} = o\left(\frac{1}{x^2}\right) \] Convergente.
    Conclusion : Convergente.
  15. Points singuliers en $ 0 $ et $ +\infty $.
    En $ 0^+ $ : l'intégrande est prolongeable par continuité.
    En $ +\infty $ : \[ \frac{\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} = \frac{x^{1/3}\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{1/3} - 1\right)}{\sqrt{x}} \underset{+\infty}{\sim} \frac{x^{1/3} \frac{1}{3x}}{x^{1/2}} = \frac{1}{3x^{7/6}} \] Convergente ($ \alpha = \frac{7}{6} > 1 $).
    Conclusion : Convergente.
  16. Points singuliers en $ 1 $ et $ +\infty $.
    En $ 1^+ $ : \[ \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x^2 - 1}} \underset{1^+}{\sim} \frac{\ln 2}{\sqrt{2}\sqrt{x - 1}} \] Convergente ($ \alpha = \frac{1}{2} < 1 $).
    En $ +\infty $ : $ \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \sim \frac{1}{x} $ d'oĂč : \[ \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x^2 - 1}} \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{x^2} \] Convergente ($ \alpha = 2 > 1 $).
    Conclusion : Convergente.
  17. Points singuliers en $ 0 $ et $ 1 $.
    En $ 0^+ $ : \[ \frac{(\ln x)^2}{x^{2/3}(1 - x)^{5/2}} \underset{0^+}{\sim} \frac{(\ln x)^2}{x^{2/3}} = o\left(\frac{1}{x^{5/6}}\right) \] Convergente ($ \alpha = \frac{5}{6} < 1 $).
    En $ 1^- $ : on pose $ u = 1 - x \to 0 $. $ (\ln(1-u))^2 \sim u^2 $, donc : \[ f(1-u) \underset{0^+}{\sim} \frac{u^2}{u^{5/2}} = \frac{1}{\sqrt{u}} \] Convergente ($ \alpha = \frac{1}{2} < 1 $).
    Conclusion : Convergente.
  18. Point singulier en $ 0 $ et $ +\infty $.
    En $ 0^+ $ : $ \lim_{t \to 0^+} e^{-(\ln t)^2} = 0 $. Prolongeable par continuité.
    En $ +\infty $ : \[ e^{-(\ln t)^2} = \frac{1}{t^{\ln t}} = o\left(\frac{1}{t^2}\right) \] Convergente par croissances comparées.
    Conclusion : Convergente.
  19. Points singuliers en $ 0 $ et $ +\infty $.
    En $ 0^+ $ : l'intégrande est prolongeable par continuité (équivalent à $ 1 $).
    En $ +\infty $ : \[ \frac{\arctan x}{x(1 + x^2)} \underset{+\infty}{\sim} \frac{\pi}{2x^3} \] Convergente ($ \alpha = 3 > 1 $).
    Conclusion : Convergente.
  20. Points singuliers en $ 0 $ et $ +\infty $.
    En $ 0^+ $ : \[ \frac{1}{1 - e^{-x}} - \frac{1}{x} = \frac{x - 1 + e^{-x}}{x(1 - e^{-x})} \underset{0^+}{\sim} \frac{x^2/2}{x^2} = \frac{1}{2} \] L'intégrande se prolonge par continuité.
    En $ +\infty $ : \[ e^{-x}\left(\frac{1}{1 - e^{-x}} - \frac{1}{x}\right) \underset{+\infty}{\sim} e^{-x} \] Convergente.
    Conclusion : Convergente.
  21. Points singuliers en $ 0 $ et $ +\infty $.
    En $ 0^+ $ : $ x - \arctan x \sim \frac{x^3}{3} $ d'oĂč : \[ \frac{x - \arctan x}{x(1 + x^2)\arctan x} \underset{0^+}{\sim} \frac{x^3/3}{x^2} = \frac{x}{3} \] L'intĂ©grande se prolonge par continuitĂ© en $ 0 $.
    En $ +\infty $ : \[ \frac{x - \arctan x}{x(1 + x^2)\arctan x} \underset{+\infty}{\sim} \frac{x}{x^3 \frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi x^2} \] Convergente ($ \alpha = 2 > 1 $).
    Conclusion : Convergente.
  22. Point singulier en $ +\infty $. En effectuant un développement limité : \[ \cos\left(\frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right) \] \[ \ln\left(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right) \underset{+\infty}{\sim} -\frac{1}{2x^2} \] Convergente (Riemann avec $ \alpha = 2 > 1 $).
    Conclusion : Convergente.
  23. Points singuliers en $ 0 $ et $ 1 $.
    L'intégrande s'écrit $ \ln(t - t^2) = \ln(t) + \ln(1 - t) $.
    L'intégrale $ \int_0^1 \ln(t) \,dt $ converge. Par changement $ u = 1 - t $, $ \int_0^1 \ln(1-t) \,dt $ converge également.
    Conclusion : Convergente.
  24. Points singuliers en $ 0 $ et $ +\infty $.
    En $ 0^+ $ : $ \ln(t)e^{-t} \sim \ln t $ (convergente).
    En $ +\infty $ : \[ \ln(t)e^{-t} = o\left(\frac{1}{t^2}\right) \] Convergente par croissances comparées.
    Conclusion : Convergente.
  25. Point singulier en $ 1 $.
    En $ 1^- $ : la factorisation donne $ 1 - x^6 = (1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5) \sim 6(1-x) $. \[ \frac{1}{\sqrt{1 - x^6}} \underset{1^-}{\sim} \frac{1}{\sqrt{6}\sqrt{1 - x}} \] Convergente ($ \alpha = \frac{1}{2} < 1 $).
    Conclusion : Convergente.
  26. Points singuliers en $ -\infty $ et $ +\infty $.
    En $ +\infty $ : \[ \frac{1 + x^2 e^{-x}}{x^2 + e^{-2x}} \underset{+\infty}{\sim} \frac{x^2 e^{-x}}{x^2} = e^{-x} \] Convergente.
    En $ -\infty $ : on pose $ u = -x \to +\infty $. \[ \frac{1 + u^2 e^u}{u^2 + e^{2u}} \underset{+\infty}{\sim} \frac{u^2 e^u}{e^{2u}} = u^2 e^{-u} = o\left(\frac{1}{u^2}\right) \] Convergente.
    Conclusion : Convergente.
  27. Point singulier en $ 0 $.
    En $ 0^+ $ : $ x^3 + x^2 \sim x^2 $ d'oĂč : \[ \frac{\ln x}{x^3 + x^2} \underset{0^+}{\sim} \frac{\ln x}{x^2} \] Cette intĂ©grale de Bertrand ($ \alpha = 2 > 1 $) est non intĂ©grable au voisinage de $ 0 $ (car $ \lim_{x \to 0} x \cdot f(x) = -\infty $).
    Conclusion : Divergente.