Divisibilité de $mn(m^{60} - n^{60})$

1. Décomposition de $ 56786730 $
   Commençons par décomposer ce grand nombre en produit de facteurs premiers : \[ 56786730 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 31 \times 61 \] La propriété fondamentale de cet ensemble de nombres premiers est que, pour chaque facteur premier $ p $, l'entier $ p - 1 $ est un diviseur exact de $ 60 $.
   En effet, les valeurs de $ p-1 $ sont respectivement $ 1, 2, 4, 6, 10, 12, 30 $ et $ 60 $. On remarque d'ailleurs le cas $ p=11 \implies p-1=10 $.
   Pour chacun de ces nombres premiers, il existe donc un entier $ k $ tel que $ 60 = k(p-1) $.


2. Application du Petit Théorème de Fermat
   Soit $ p \in \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 31, 61\} $. Évaluons la divisibilité de l'expression pour des entiers $ m $ et $ n $ quelconques. Deux cas se présentent :
   
   Cas 1 : $ p $ divise $ m $ ou $ p $ divise $ n $.
   Dans ce cas, $ p $ divise le produit $ mn $. Par conséquent, $ p $ divise trivialement l'expression entière $ mn(m^{60} - n^{60}) $.
   
   Cas 2 : $ p $ ne divise ni $ m $ ni $ n $.
   Puisque $ p $ est premier, $ m $ et $ n $ sont premiers avec $ p $. Le Petit Théorème de Fermat nous assure que : \[ m^{p-1} \equiv 1 \pmod p \quad \text{et} \quad n^{p-1} \equiv 1 \pmod p \] En élevant ces congruences à la puissance $ k $ (puisque $ 60 = k(p-1) $), nous obtenons : \[ m^{60} = (m^{p-1})^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod p \] \[ n^{60} = (n^{p-1})^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod p \] Par soustraction, on en déduit : \[ m^{60} - n^{60} \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod p \] Ce qui signifie que $ p $ divise la différence $ m^{60} - n^{60} $, et divise donc l'expression globale.


3. Conclusion
   Dans tous les cas de figure, chaque facteur premier $ p $ de la décomposition divise $ mn(m^{60} - n^{60}) $.
   Puisque les nombres $ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 31 $ et $ 61 $ sont des nombres premiers distincts, ils sont deux à deux premiers entre eux. Le produit de ces facteurs divise donc également l'expression.
   On conclut ainsi que pour tous $ m, n \in \mathbb{N} $, le nombre $ 56786730 $ divise $ mn(m^{60} - n^{60}) $.