Théorème de Wilson

• Condition nécessaire ($\implies$) : Supposons que $ p $ est un nombre premier.
  Si $ p = 2 $, on vérifie trivialement que $ (2-1)! + 1 = 2 \equiv 0 \pmod 2 $.
  Supposons $ p > 2 $. Dans le corps $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $, chaque entier $ x \in \{1, 2, \dots, p-1\} $ est inversible. Cherchons les éléments qui sont leur propre inverse : \[ x^2 \equiv 1 \pmod p \iff (x-1)(x+1) \equiv 0 \pmod p \] Puisque $ p $ est premier, cette équation admet exactement deux solutions : $ x \equiv 1 \pmod p $ et $ x \equiv -1 \equiv p-1 \pmod p $.
  Ainsi, parmi les facteurs de $ 2 $ à $ p-2 $ dans la factorielle, chacun peut être associé de manière unique à son inverse modulo $ p $, distinct de lui-même. Le produit de chaque paire vaut $ 1 \pmod p $.
  On réorganise le produit global $ (p-1)! $ : \[ (p-1)! \equiv 1 \times (p-1) \times \prod_{\text{paires}} (x \cdot x^{-1}) \pmod p \] \[ (p-1)! \equiv 1 \times (p-1) \times 1 \equiv -1 \pmod p \] Ce qui donne bien $ (p-1)! + 1 \equiv 0 \pmod p $.


• Condition suffisante ($\impliedby$) : Supposons que $ (p-1)! + 1 \equiv 0 \pmod p $.
  Raisonnons par l'absurde en supposant que $ p $ n'est pas premier. Puisque $ p \geqslant 2 $, il admet un diviseur $ d $ tel que $ 1 < d < p $.
  L'entier $ d $ étant strictement inférieur à $ p $, il figure parmi les entiers $ 1, 2, \dots, p-1 $. Par conséquent, $ d $ est un facteur de $ (p-1)! $, ce qui implique que $ d $ divise $ (p-1)! $.
  Par hypothèse, $ p $ divise $ (p-1)! + 1 $. Puisque $ d $ divise $ p $, par transitivité, $ d $ divise également $ (p-1)! + 1 $.
  Si $ d $ divise à la fois $ (p-1)! $ et $ (p-1)! + 1 $, il divise leur différence : \[ ((p-1)! + 1) - (p-1)! = 1 \] Cela exige que $ d = 1 $, ce qui contredit formellement notre choix de $ d > 1 $.
  L'entier $ p $ ne peut donc avoir d'autre diviseur propre : il est premier.