Détermination des deux derniers chiffres

• Étape 1 : Périodicité modulo 100
  Puisque $ \text{pgcd}(7, 100) = 1 $, le théorème d'Euler nous donne : \[ 7^{\varphi(100)} \equiv 1 \pmod{100} \] Avec $\varphi(100) = 40$. Cependant, une vérification directe montre une période plus courte : \[ 7^4 = 2401 \equiv 1 \pmod{100} \]


• Étape 2 : Réduction de l'exposant $m$ modulo 4
  L'exposant est $m = 7^{m'}$ (où $ m' $ est une tour de puissances de 7, donc un entier impair).
  On évalue $m \pmod 4$ : \[ 7 \equiv -1 \pmod 4 \] \[ m = 7^{m'} \equiv (-1)^{m'} \pmod 4 \] Comme $ m' $ est impair : \[ m \equiv -1 \equiv 3 \pmod 4 \] Il existe donc un entier $n$ tel que $m = 4n + 3$.


• Étape 3 : Calcul final modulo 100
  On remplace $m$ dans l'expression initiale de $N$ : \[ N = 7^{4n+3} = (7^4)^n \times 7^3 \] Puisque $7^4 \equiv 1 \pmod{100}$ : \[ N \equiv 1^n \times 343 \pmod{100} \] \[ N \equiv 343 \equiv 43 \pmod{100} \]