1. Construction de la suite de sous-groupes

• On construit itérativement une suite strictement croissante de sous-groupes de $G$.
• Posons $H_0 = \{e\}$, où $e$ est l'élément neutre de $G$. Son ordre est $1$.
• Tant que $H_i \neq G$, on choisit un élément $a_{i+1} \in G \setminus H_i$.
• On définit alors $H_{i+1} = \langle H_i \cup \{a_{i+1}\} \rangle$, le sous-groupe engendré par $H_i$ et l'élément $a_{i+1}$.

2. Utilisation du théorème de Lagrange

• Par construction, $H_i$ est un sous-groupe de $H_{i+1}$. De plus, cette inclusion est stricte car $a_{i+1} \in H_{i+1}$ mais $a_{i+1} \notin H_i$.
• D'après le théorème de Lagrange, l'ordre du sous-groupe $H_i$ divise l'ordre du groupe $H_{i+1}$.
• Puisque l'inclusion est stricte, l'indice du sous-groupe est au moins $2$, ce qui se traduit par : \[ |H_{i+1}| \geqslant 2 |H_i| \]

3. Conclusion

• En appliquant cette inégalité par récurrence à partir de $H_0$, on obtient après $k$ étapes : \[ |H_k| \geqslant 2^k |H_0| = 2^k \]
• Puisque $G$ est de cardinal fini $n$, ce processus s'arrête nécessairement pour un certain entier $k$. À ce stade final, le sous-groupe généré est le groupe entier, soit $H_k = G$.
• On a donc $n \geqslant 2^k$, ce qui donne, en passant au logarithme en base $2$ : \[ k \leqslant \log_2(n) \]
• L'ensemble $S = \{a_1, a_2, \dots, a_k\}$ est, par construction, une partie génératrice de $G$. Son cardinal est $k$, ce qui achève la démonstration.