Racine carrée d'un $n$-cycle dans $\mathcal{S}_n$

• Si $n$ est pair :
  Soit $c$ un $n$-cycle. Sa signature est donnée par : \[ \varepsilon(c) = (-1)^{n-1} \] Puisque $n$ est pair, $n-1$ est impair, d'où $\varepsilon(c) = -1$.
  Supposons par l'absurde qu'il existe une permutation $\sigma$ telle que $\sigma^2 = c$. En passant à la signature, on obtient : \[ \varepsilon(c) = \varepsilon(\sigma^2) = (\varepsilon(\sigma))^2 = 1 \] C'est une contradiction évidente ($1 \neq -1$). Le $n$-cycle n'admet aucune racine carrée.


• Si $n$ est impair :
  Dans ce cas, l'entier $n+1$ est pair, ce qui permet de poser : \[ \sigma = c^{\frac{n+1}{2}} \] Calculons le carré de cette permutation : \[ \sigma^2 = \left(c^{\frac{n+1}{2}}\right)^2 = c^{n+1} \] Comme l'ordre du cycle $c$ est $n$, nous savons que $c^n = \text{id}$. Ainsi : \[ c^{n+1} = c^n \circ c = \text{id} \circ c = c \] La permutation $\sigma$ est donc une racine carrée explicite de $c$.