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Morphismes de $\mathcal{S}_n$ dans $ \mathbb{Z} $
Soit $\varphi : \mathcal{S}_n \to \mathbb{Z}$ un morphisme de groupes.
Le groupe $\mathcal{S}_n$ est un groupe fini d'ordre $ n! $. L'image $\varphi(\mathcal{S}_n)$ est donc nécessairement un sous-groupe fini de $\mathbb{Z}$.
Or, le groupe $(\mathbb{Z}, +)$ est sans torsion, son unique sous-groupe fini est le sous-groupe trivial $\{0\}$.
On en déduit que : \[ \forall \sigma \in \mathcal{S}_n, \quad \varphi(\sigma) = 0 \] Il n'existe donc qu'un seul morphisme : le morphisme trivial. -
Morphismes de $\mathcal{S}_n$ dans $ \mathbb{C}^* $
Soit $\varphi : \mathcal{S}_n \to \mathbb{C}^*$ un morphisme de groupes.
On sait que les transpositions engendrent le groupe $\mathcal{S}_n$. De plus, toutes les transpositions sont conjuguées dans $\mathcal{S}_n$.
Soient $\tau_1$ et $\tau_2$ deux transpositions. Il existe $\sigma \in \mathcal{S}_n$ tel que $\tau_2 = \sigma \tau_1 \sigma^{-1}$. Puisque $(\mathbb{C}^*, \times)$ est un groupe commutatif, on a : \[ \varphi(\tau_2) = \varphi(\sigma) \varphi(\tau_1) \varphi(\sigma)^{-1} = \varphi(\tau_1) \] Toutes les transpositions ont donc la mĂȘme image par $\varphi$. Soit $c \in \mathbb{C}^*$ cette valeur.
Comme toute transposition $\tau$ vérifie $ \tau^2 = \text{id} $, on obtient : \[ \varphi(\tau)^2 = \varphi(\text{id}) \implies c^2 = 1 \] Ainsi, $c = 1$ ou $c = -1$.
- Si $ c = 1 $, alors l'image de toute transposition est $1$. Puisqu'elles engendrent $ \mathcal{S}_n $, on a $\varphi(\sigma) = 1$ pour tout $\sigma \in \mathcal{S}_n$. C'est le morphisme trivial.
- Si $ c = -1 $, alors pour toute permutation $\sigma$ se décomposant en un produit de $ k $transpositions, son image est$ \varphi(\sigma) = (-1)^k $. On reconnaßt la définition de la signature.
Il existe donc exactement deux morphismes : le morphisme trivial et la signature $\varepsilon$.