Non-isomorphisme des groupes $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}^2$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{Q}^*_+$
Pour démontrer que ces quatre groupes ne sont pas isomorphes deux à deux, il suffit de mettre en évidence des invariants algébriques (propriétés conservées par isomorphisme) qui permettent de les distinguer.
1. Le groupe $(\mathbb{Z}, +)$ est le seul à être monogène
- Le groupe $(\mathbb{Z}, +)$ est monogène (et cyclique infini), car il est engendré par l'élément $1$.
- Les trois autres groupes ne sont pas monogènes :
- $(\mathbb{Z}^2, +)$ nécessite au moins deux générateurs (par exemple $(1, 0)$ et $(0, 1)$).
- $(\mathbb{Q}, +)$ ne peut être engendré par un seul rationnel $q$, car l'élément $\frac{q}{2}$ n'appartiendrait pas au groupe engendré par $q$.
- $(\mathbb{Q}^*_+, \times)$ nécessite une infinité de générateurs (l'ensemble des nombres premiers).
- Conclusion : $\mathbb{Z}$ n'est isomorphe à aucun des trois autres groupes.
2. Le groupe $(\mathbb{Z}^2, +)$ est de type fini, contrairement à $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{Q}^*_+$
- Le groupe $(\mathbb{Z}^2, +)$ est de type fini (engendré par un nombre fini d'éléments).
- $(\mathbb{Q}, +)$ n'est pas de type fini (tout sous-groupe de type fini de $\mathbb{Q}$ est monogène, ce qui n'est pas le cas de $\mathbb{Q}$ tout entier).
- $(\mathbb{Q}^*_+, \times)$ n'est pas de type fini. D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, la décomposition en facteurs premiers montre que ce groupe est isomorphe au groupe abélien libre engendré par la famille des nombres premiers, qui est infinie.
- Conclusion : $\mathbb{Z}^2$ n'est isomorphe ni à $\mathbb{Q}$, ni à $\mathbb{Q}^*_+$.
3. Le groupe $(\mathbb{Q}, +)$ est divisible, contrairement à $(\mathbb{Q}^*_+, \times)$
- Un groupe $(G, +)$ est dit divisible si, pour tout $a \in G$ et tout entier $n > 0$, l'équation $nx = a$ admet au moins une solution dans $G$.
- Dans $(\mathbb{Q}, +)$, pour tout élément $a \in \mathbb{Q}$, l'équation $2x = a$ admet pour solution $x = \frac{a}{2} \in \mathbb{Q}$. Le groupe est donc divisible.
- Dans $(\mathbb{Q}^*_+, \times)$, l'équation analogue (transposée en notation multiplicative) est $x^2 = a$. Si l'on choisit $a = 2 \in \mathbb{Q}^*_+$, l'équation devient $x^2 = 2$. Or, $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. L'équation n'a pas de solution rationnelle, donc le groupe n'est pas divisible.
- Conclusion : $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{Q}^*_+$ ne sont pas isomorphes.
Bilan : Les quatre groupes présentent des structures algébriques fondamentalement différentes (monogène, de type fini non monogène, divisible, non divisible). Ils sont donc deux à deux non isomorphes.